PDB : Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde Dua Metode Koefisien Tak Tentu

Assalamu'alaikum semua :)

Penyelesaian permasalahan PD linear non homogen orde dua sangat berkaitan dengan penyelesaian PD linear homogen pada bahasan sebelumnya. Jadi, harus pastikan kita sudah memahami materi PD linear homogen agar bisa mencari solusi umum PD linear non homogen.

Ada dua metode yang akan dibahas, yaitu metode koefisien tak tentu yang digunakan untuk menyelesaikan PD non homogen koefisien konstan dan metode variasi parameter untuk menyelesaikan PD non homogen koefisien variabel.

Persamaan Diferensial Linear Non Homogen 

Solusi umum PD linear non homogen orde dua dapat dinyatakan :

    $y=y_{h}+y_{p}$     ... (1)

dengan 

    $y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$    ... (2)

sebagai solusi homogen persamaan (1) sedangkan $y_{p}$ sebagai solusi khusus atau solusi partikular yang berkaitan dengan $r(x)$.

Solusi partikular $y_{p}$ dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu :

1. Metode koefisien tak tentu

2. Metode variasi parameter

Metode Koefisien Tak Tentu

PD linear non homogen orde dua memiliki bentuk umum :

    $ay''+by'+cy=r(x)$    ... (3)

Kunci metode ini adalah $y_{p}$ suatu ekspresi yang mirip dengan $r(x)$ yang terdapat koefisien-koefisien yang tidak diketahui yang dapat ditentukan dengan mensubstitusi $y_{p}$ pada persamaan.

Tabel pilihan $r(x)$ dengan $y_{p}$ yang diberikan.

$r(x)$	$y_{p}$
$x^{n}$	$A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+...+A_{1}x+A_{0}$
$e^{ax}$	$A$ $e^{ax}$
$\cos bx$	$A \cos bx+B \sin bx$
$\sin bx$	$A \cos bx+B \sin bx$
$x$ $e^{ax}$	$A$ $e^{ax}+x$ $B$ $e^{ax}$
$e^{ax}\cos bx$	$(A \cos bx+B \sin bx)e^{ax}$
$e^{ax}\sin bx$	$(A \cos bx+B \sin bx)e^{ax}$
$x \cos bx$	$(A_{1} \cos bx+B_{1} \sin bx)+(A_{2}x \cos bx +B_{2}x\sin bx)$
$x \sin bx$	$(A_{1} \cos bx+B_{1} \sin bx)+(A_{2}x \cos bx +B_{2}x\sin bx)$

Metode koefisien tak tentu digunakan untuk penyelesaian khusus PD linear non homogen koefisien konstan.

Metode ini hanya dapat digunakan jika fungsi $r(x)$ di kolom kanan berupa polinomial, fungsi trigonometri, fungsi eksponen atau penjumlahan/perkalian dari beberapa fungsi. 

Perhatikan, misal diberikan suatu PD  $y''+y=\tan x$. PD tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu karena $\tan x$ bukan termasuk fungsi dalam tabel sehingga akan diselesaikan dengan cara lain. 

Aturan-Aturan Metode Koefisien Tak Tentu

Pada metode ini, terdapat 3 aturan (3 kasus) berbeda untuk menyelesaikan PD linear non homogen orde dua, yaitu :

Kasus 1 (aturan dasar) : Jika $r(x)$ bukan solusi homogen, maka selesaikan $y_{p}$ dengan memilih fungsi yang bersesuaian pada tabel yang disediakan.

Kasus 2 (aturan modifikasi) : Jika $r(x)$ merupakan solusi homogen (memiliki basis yang sama dengan solusi homogen), maka kalikan $y_{p}$ sesuai fungsi yang bersesuaian dengan tabel dengan $x$ (atau $x^{2}$ untuk akar kembar dua dan $x^{3}$ untuk akar kembar tiga, dst.)

Kasus 3 (aturan penjumlahan) : Jika $r(x)$ merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi, maka selesaikan dengan memilih $y_{p}$ yang merupakan penjumlahan juga.

Mencari Solusi Umum Persamaan Diferensial Non Homogen Orde Dua dengan Metode Koefisien Tak Tentu

Contoh soal 1 (Kasus 1)

Carilah solusi umum PD : $y''-3y'-4y=3e^{2t}$

Pembahasan :

Langkah 1 : Mencari solusi homogen 

    $\lambda ^{2}-3\lambda -4=0$

    $(\lambda -4)(\lambda +1)=0$

    $\lambda _{1}=4$  dan  $\lambda _{2}=-1$

    $y_{h}=c_{1}e^{4x}+c_{2}e^{-x}$

Langkah 2 : Mencari solusi partikular

    $r(x)=3e^{2t}$  bersesuaian dengan baris ke-2 sehingga

    $y_{p}=Ae^{2t}$

    $y_{p}'=2Ae^{2t}$

    $y_{p}''=4Ae^{2t}$

    lalu substitusi $y'',y',y$ ke PD awal :

    $\Leftrightarrow 4Ae^{2t}-3(2Ae^{2t})-4(Ae^{2t})=3e^{2t}$

    $\Leftrightarrow 4Ae^{2t}-6Ae^{2t}-4Ae^{2t}=3e^{2t}$

    $\Leftrightarrow -6Ae^{2t}=3e^{2t}$

    $\Leftrightarrow -6A=3 \Rightarrow A=-\frac {1}{2}$

    maka  $y_{p}=-\frac{1}{2}e^{2t}$

Sehingga solusi umum PD :

    $y=y_{h}+y_{p}$

    $y=c_{1}e^{4x}+c_{2}e^{-x}-\frac{1}{2}e^{2t}$

Contoh soal 2 (Kasus 1)

Carilah solusi umum PD : $y''+y=6 \sin 2x$

Pembahasan :

Langkah 1 : Mencari solusi homogen 

    $\lambda ^{2}+1=0$

    $\lambda _{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4(1)(1)}}{2(1)}=0\pm i$ 

    maka $\alpha =0$  dan  $\beta=1$

    $y_{h}=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x$

Langkah 2 : Mencari solusi partikular

    $r(x)=6 \sin 2x \Rightarrow$ bersesuaian dengan baris ke-4 sehingga

    $y_{p}=A \cos 2x+B \sin 2x$

    $y_{p}'=-2A \sin 2x+2B \cos 2x$

    $y_{p}''=-4A \cos 2x-4B \sin 2x$

    lalu substitusi $y'',y',y$ ke PD awal :

    $\Leftrightarrow -4A \cos 2x-4B \sin 2x+A \cos 2x+B \sin 2x=6 \sin 2x$

    $\Leftrightarrow -3A \cos 2x-3B \sin 2x =6 \sin 2x$

    $\Leftrightarrow -3B =6 \Rightarrow B=-2$

    $\Leftrightarrow -3A =0 \Rightarrow A=0$

    maka $y_{p}=-2 \sin 2x$

Sehingga solusi umum PD :

    $y=y_{h}+y_{p}$

    $y=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x-2 \sin 2x$

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Metode Variasi Parameter

Terkait : PD Linear Homogen