PDB : Persamaan Diferensial Variabel Terpisah (Separable Equations)
Assalamu'alaikum semua :)
Persamaan diferensial variabel terpisah (separable equations) adalah salah satu materi penting dalam mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Materi ini terbilang mudah karena penyelesaiannya masih cukup sederhana.
Pengantar PDB Orde Satu
Persamaan Diferensial (PD) orde satu secara umum ditulis :
\(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) ... (1)
dimana \(f\) adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan.
Persamaan (1) ditulis dalam PD baku :
\(M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0\) ... (2)
Persamaan Variabel Terpisah (Separable)
Persamaan diferensial terpisah adalah PDB orde satu yang secara aljabar dapat direduksi ke dalam bentuk baku dengan tiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel.
Jika masing-masing suku tak nolnya dalam bentuk baku memuat satu variabel, dalam hal ini \(M\) hanya fungsi dari \(x\) dan \(N\) hanya fungsi dari \(y\), maka :
\(M(x)dx+N(y)dy = 0\) ... (3)
disebut PD dengan variabel terpisah.
Dengan melakukan pengintegralan pada tiap ruas (3) maka diperoleh solusi umum :
\(\int M(x)dx+\int N(y)dy = c\) ... (4)
dimana \(c\) adalah konstanta.
Suatu PDB orde satu dikatakan terpisah jika dapat ditulis dalam bentuk :
\(p(y)\frac{dy}{dx}=q(x)\)
Teknik penyelesaian PD ini diberikan dalam teorema :
Teorema
Jika \(p(y)\) dan \(q(x)\) kedua kontinu, maka persamaan diferensial variabel terpisah memiliki solusi umum :
\(\int p(y)dy=\int q(x)dx+c\)
dengan \(c\) konstanta.
Mencari Solusi Umum PD Variabel Terpisah
Contoh soal 1
Carilah solusi umum dari PD berikut : \(x^{2}dx+(1-y^{2})dy=0\)
Pembahasan :
Karena PD berbentuk variabel terpisah, maka penyelesaian dapat dicari dengan melakukan integral langsung pada tiap-tiap ruas.
\(\int x^{2}dx+\int (1-y^{2})dy=\int 0\)
\(\frac{1}{3}x^{3}+y-\frac{1}{3}y^{3}= k\)
Dengan demikian, solusi umum PD :
\(x^{3}+3y-y^{3}=c\) dengan \(c=3k\)
Contoh soal 2
Carilah solusi umum dari PD berikut : \(e^{y}\) \(dy=x\) \(\cos x\) \(dx\)
Pembahasan :
Diselesaikan dengan melakukan integral langsung pada tiap-tiap ruas.
\(\int e^{y}\) \(dy=\int x\) \(\cos x\) \(dx\)
\(e^{y}=x\) \(\sin x+\cos x+k\)
Secara eksplisit, solusi umum dapat ditulis :
\(y=\ln\) [\(x\) \(\sin x+\cos x+k\)]
Contoh soal 3
Carilah solusi umum dari PD berikut : \(16 y\) \(\frac{dy}{dx}+9x=0\)
Pembahasan :
Ubah PD menjadi bentuk baku sebelum melakukan pengintegralan pada tiap-tiap ruas.
\(16y\) \(dy=-9x\) \(dx\)
\(16y\) \(dy+9x\) \(dx=0\)
\(\int16y\) \(dy+\int9x\) \(dx=\int0\)
\(8y^{2}+\frac{9}{2}x^{2}=k\)
Dengan demikian, solusi umum PD :
\(16y^{2}+9x^{2}=c\) dengan \(c=2k\)
Persamaan Diferensial Variabel Terpisah dengan Masalah Nilai Awal (MNA)
Nilai awal suatu PD ditulis :
\(y(x_{0})=y_{0}\)
jika penyelesaian khusus \(g(x)\) memenuhi kondisi awal pada suatu titik tertentu \(x_{0}\) dan penyelesaian \(y(x)\) mempunyai nilai tertentu \(y_{0}\), sebagai contoh :
\(y(1)=0\) artinya \(y=0\) jika \(x=1\)
\(y(0)=2\) artinya \(y=2\) jika \(x=0\)
Kondisi awal dari penyelesaian suatu PD disebut nilai awal dan solusinya ditentukan dari penyelesaian khusus yang memenuhi syarat awal yang diberikan.
Mencari Solusi Khusus PD Variabel Terpisah
Contoh soal 1
Carilah solusi MNA dari PD berikut : \(xy'+y=0\) ; \(y(1)=1\)
Pembahasan :
Step 1 : Tentukan solusi umum.
\(xy'+y=0\)
\(x\) \(\frac{dy}{dx}+y=0\)
\(x\) \(\frac{dy}{dx}=-y\)
\(\int \frac{1}{y}\) \(dy=-\int \frac{1}{x}\) \(dx\)
\(\ln y=-\ln x+c\)
\(y=e^{-\ln x+c}\)
Step 2 : Gunakan nilai awal untuk mencari solusi khusus. Karena \(y(1)=1\) maka :
\(y(1)=e^{-\ln (1)+c}\)
\(1=e^{c}\) maka \(c=0\)
sehingga solusi khusus PD :
\(y(x)=e^{-\ln x}\)
Contoh soal 2
Carilah solusi MNA dari PD berikut : \(yy'+2\) \(\sin^{2}x=0\) ; \(y(0)=\sqrt{3}\)
Pembahasan :
Step 1 : Tentukan solusi umum.
\(y\) \(\frac{dy}{dx}=2\) \(\sin^{2}x\)
\(\int y\) \(\frac{dy}{dx}=\int 2\) \(\sin^{2}x\)
\(\frac{1}{2}y^{2}=2[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+k]\)
\(y^{2}=2x-\sin 2x+4k\)
\(y=\sqrt{2x-\sin 2x+c}\) dengan \(c=4k\)
Step 2 : Gunakan nilai awal \(y(0)=\sqrt{3}\) maka :
\(y(0)=\sqrt{2.0-\sin 0+c}\)
\(\sqrt{3}=\sqrt{c}\)
\(c=3\)
sehingga solusi khusus PD :
\(y(x)=\sqrt{2x-\sin 2x+3}\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Selanjutnya : PD Reduksi Variabel Terpisah
Komentar
Posting Komentar