PDB : Persamaan Diferensial Reduksi Variabel Terpisah

Assalamu'alaikum semua :)

Persamaan diferensial (PD) reduksi variabel terpisah (reducible to variable separable) adalah materi lanjutan dari PD variabel terpisah yang sebelumnya sudah dibahas. 

Untuk menyelesaikan PD reduksi variabel terpisah yaitu dengan cara mengalikan kedua ruas dengan faktor integral-nya sehingga persamaan akan menjadi bentuk baku PD variabel terpisah yang selanjutnya dapat dilakukan pengintegralan pada tiap-tiap ruas untuk menemukan solusi umumnya.

Persamaan Diferensial Reduksi Variabel Terpisah

Mengacu pada persamaan 

    \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)     ... (1)

jika :

    \(M(x,y)=f_{1} (x)\cdot g_{1} (y)\)

    \(N(x,y)=f_{2} (x)\cdot g_{2} (y)\)

maka diperoleh bentuk PD yang dapat direduksi ke bentuk PD variabel terpisah

    \(f_{1}(x) \cdot g_{1} (y)\) \(dx+ f_{2}(x) \cdot g_{2} (y)\) \(dy=0\)    ... (2)

Persamaan (2) disebut sebagai bentuk umum persamaan diferensial reduksi variabel terpisah. Bentuk ini dapat direduksi dengan faktor integral :

    \(\frac{1}{f_{2}(x)\cdot g_{1}(y)}\)

menjadi :

    \(\frac{1}{f_{2}(x)\cdot g_{1}(y)}\) \([ f_{1}(x) \cdot g_{1} (y)\) \(dx+ f_{2}(x) \cdot g_{2} (y)\) \(dy=0 ]\)

Selanjutnya PD akan tereduksi menjadi PD variabel terpisah (separable) :

    \(\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}\) \(dx+\frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}\) \(dy=0\)

sehingga diperoleh solusi umum PD :

    \(\int \frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}\) \(dx+\int \frac{g_{2}(y)}{g_{1}(y)}\) \(dy=c\)

Mencari Solusi Umum PD Reduksi Variabel Terpisah

Contoh soal 1

Carilah solusi umum PD berikut : \((1+2y)+(x-4)\) \(y'=0\)

Pembahasan :

Step 1 : Tentukan faktor integral.

    \((1+2y)+(x-4)\) \(y'=0\)

    \((x-4)\) \(\frac{dy}{dx}=-(1+2y)\)

    \((1+2y)\) \(dx+(x-4)\) \(dy=0\)

    \(g_{1}=(1+2y)\)    dan     \(f_{2}=(x-4)\) 

    maka faktor integral \(=\frac{1}{f_{2}\cdot g_{1}}=\frac{1}{(x-4)(1+2y)}\)

Step 2 : Kalikan faktor integral dengan PD awal, lalu integralkan tiap-tiap ruas.

    \(\frac{1}{(x-4)(1+2y)}[(1+2y)\) \(dx+(x-4)\) \(dy]=0\)

    \(\int \frac{1}{(x-4)}\) \(dx+\int \frac{1}{(1+2y)}\) \(dy=\int 0\)

    \(\ln (x-4)+\frac{1}{2} \ln (1+2y)=k\)

    \(2\) \(\ln (x-4) + \ln (1+2y) = 2k\)

    \(\ln (x-4)^{2} +\ln (1+2y) = 2k\)

    \(\ln (x-4)^{2}(1+2y) = 2k\)

    \((x-4)^{2}(1+2y) = e^{2k}\)

    Sehingga solusi umum PD :

    \((x-4)^{2}(1+2y) = c\) dengan \(c=e^{2k}\)

Contoh soal 2

Carilah solusi umum PD berikut : \(\frac{dy}{dx}=\frac{4y}{xy-3x}\)

Pembahasan :

Step 1 : Ubah PD ke bentuk baku agar mudah menentukan faktor integral.

    \(4y\) \(dx=(xy-3x)\) \(dy\)

    \(4y\) \(dx=x(y-3)\) \(dy\)

    \(g_{1}=y\)     dan     \(f_{2}=x\)

    maka faktor integral \(=\frac{1}{f_{2}\cdot g_{1}}=\frac{1}{xy}\)

Step 2 : Kalikan faktor integral dengan PD awal, lalu integralkan tiap-tiap ruas.

    \(\frac{1}{xy}[x(y-3)\) \(dy-4y\) \(dx]=0\)

    \(\int \frac{y-3}{y}dy-\int \frac{4}{x} dx=\int 0\)

    \(y-3 \ln y -4\ln x= k\)

    \(y=\ln y^{3}+\ln x^{4} +\ln e^{k}\)

    Sehingga solusi umum PD :

    \(y=\ln k\) \(x^{4}y^{3}\) dengan \(k=e^{k}\)

Contoh soal 3

Carilah solusi umum PD berikut : \(\frac{dy}{dx}=\frac{2x(y-1)}{x^{2}+3}\)

Pembahasan :

Step 1 : Tentukan faktor integral.

    \((x^{2}+3)dy=2x(y-1)dx\)

    \(g_{1}=y-1\)    dan     \(f_{2}=x^{3}+3\)

    maka faktor integral \(=\frac{1}{f_{2}\cdot g_{1}}=\frac{1}{(x^{3}+3)(y-1)}\)

Step 2 : Kalikan faktor integral dengan PD awal, lalu integralkan tiap-tiap ruas.

    \(\frac{1}{(x^{3}+3)(y-1)}[(x^{2}+3)dy-2x(y-1)dx]=0\)

    \(\int \frac{1}{y-1}\) \(dy-\int \frac{2x}{x^{2}+3}\) \(dx=\int 0\)

            *gunakan integral substitusi untuk menyelesaikan \(\int \frac {2x}{x^{2}+3}dx\)

    \(\ln (y-1)-\ln (x^{2}+3)=k\)

    \(\ln \frac {y-1}{x^{2}+3}=k\)

    \(\frac {y-1}{x^{2}+3}=e^{k}\)

    \(y=e^{k}(x^{2}+3)+1\)

    Sehingga solusi umum PD :

    \(y=c\) \((x^{2}+3)+1\) dengan \(c=e^{k}\)

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Sebelumnya : PD Variabel Terpisah