PDB : Persamaan Diferensial Eksak - Orde Satu
Assalamu'alaikum semua :)
Sebelumnya kita sudah memahami cara menyelesaikan PD Homogen, nah pembahasan kali ini adalah mengenai persamaan diferensial eksak yang penyelesaiannya sedikit berbeda dengan materi-materi sebelumnya.
Persamaan Diferensial Eksak
PD orde satu dengan bentuk umum :
\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\) ... (1)
dapat diselesaikan dengan ide dasar turunan.
Ingat (kalkulus) bahwa turunan total dari suatu fungsi \(F=F(x,y)\), dinotasikan \(dF\) dan didefinisikan :
\(dF=F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy\) ... (2)
Jika ruas kanan pada persamaan (2) mengekspresikan hal yang sama dengan persamaan (1), maka fakta dapat digunakan untuk menyelesaikan model PD yang diberikan.
Definisi
Persamaan diferensial orde satu dengan persamaan (1) :
\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)
dikatakan sebagai persamaan diferensial eksak pada suatu daerah \(R\) dari bidang\(-xy\) jika terdapat suatu fungsi \(F(x,y)\), sedemikian hingga berlaku :
\(F_{xy}(x,y)=M_{y}(x,y)\) dan \(F_{yx}(x,y)=N_{x}(x,y)\) ... (3)
untuk semua \((x,y)\) di \(R\).
Fungsi \(F(x,y)\) yang memenuhi (3) dinamakan fungsi potensial dari PD (1), sehingga dapat ditulis :
\(dF(x,y)=0\)
Jika \(F(x,y)=c\) mempunyai turunan parsial orde kedua yang kontinu, maka berlaku :
\(F_{xy}(x,y)=F_{yx}(x,y)\)
Akibatnya, jika \(M(x,y)\) dan \(N(x,y)\) terdefinisi dan mempunyai turunan parsial kontinu, maka berlaku :
\(F_{xy}(x,y)=M_{y}(x,y)\) dan \(F_{yx}(x,y)=N_{x}(x,y)\)
Dengan demikian, jika persamaan (1) merupakan diferensial total dari \(F(x,y)\), maka berlaku :
\(M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\) ... (4)
Teorema
Misal diberikan persamaan diferensial eksak (1) :
\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)
\(F_{x}(x,y)=M(x,y)\) ... (5)
dan
\(F_{y}(x,y)=N(x,y)\) ... (6)
dan \(c\) adalah konstanta sebarang.
Mengidentifikasi Persamaan Diferensial Eksak dan Non Eksak
Teorema
Misal \(M,N\) dan turunan parsial pertama \(M_{y},N_{x}\) kontinu dalam suatu daerah \(R\) pada bidang\(-xy\), maka PDB (1) dikatakan eksak untuk semua \(x,y\) di \(R\) jika dan hanya jika :
\(M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\) ... (4)
atau \(M_{y}=N_{x}\).
Contoh soal 1
Tentukan apakah PD berikut eksak atau tidak : \((1+\ln (xy))dx+\frac{x}{y}dy=0\)
Pembahasan :
\(M(x,y)=1+\ln (xy)\) ; \(N(x,y)=\frac{x}{y}\)
\(M_{y}(x,y)=\frac{1}{y}\)
\(N_{x}(x,y)=\frac{1}{y}\)
Karena \(M_{y}=N_{x} \Rightarrow \) PD Eksak
Contoh soal 2
Tentukan apakah PD berikut eksak atau tidak : \(x^{2}y\) \(dx-(xy^{2}+y^{3})dy=0\)
Pembahasan :
\(M_{y}(x,y)=x^{2}\)
\(N_{x}(x,y)=y^{2}\)
Karena \(M_{y}\neq N_{x} \Rightarrow\) PD Non Eksak
Mencari Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Eksak
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PD eksak. Keduanya memberikan hasil akhir yang sama. Triknya, pilih fungsi yang paling mudah diintegralkan. Berikut langkah-langkah mencari solusi umum PD eksak :
Cara 1 :
1. Solusi umum dari (1) adalah fungsi \(F(x,y)=c\) dimana fungsi \(F(x,y)\) diberikan oleh :
\(F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)\) ... (7)
dengan \(g(y)\) dihasilkan dari :
\(F_{y}(x,y)=N(x,y)\)
2. Diferensialkan (7) terhadap \(y\) diperoleh :
\(\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx+g'(y)=N(x,y)\)
3. Dengan demikian, fungsi \(g(y)\) :
\(g(y)=\int (N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}\int M(x,y)dx)dy+c\)
Cara 2 :
1. Dengan cara yang sama, penentuan \(F(x,y)=c\) dapat dilakukan dengan pendekatan lain, yaitu :
\(F(x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)\) ... (8)
dengan \(g(x)\) dihasilkan dari :
\(F_{x}(x,y)=M(x,y)\)
2. Diferensialkan (7) terhadap \(y\) diperoleh :
\(\frac{\partial }{\partial x}\int N(x,y)dy+g'(x)=M(x,y)\)
3. Dengan demikian, fungsi \(g(x)\) :
\(g(x)=\int (M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x}\int N(x,y)dy)dx+c\)
Contoh soal 1
Tentukan solusi PD berikut : \((5x^{2}+2xy^{3})dx+(3x^{2}y^{2}-2y^{3})dy=0\)
Pembahasan :
\(M_{y}=6xy^{2}\)
\(N_{x}=6xy^{2}\)
\(M_{y}=N_{x} \Rightarrow\) PD Eksak
Step 2 : Mencari fungsi potensial.
\(F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)\)
\(=\int (5x^{2}+2xy^{3})dx+g(y)\)
\(=\frac{5}{3}x^{3}+x^{2}y^{3}+g(y)\)
Step 3 : Mencari fungsi \(g(y)\).
\(F_{y}(x,y)=N(x,y)\)
\(\frac{\partial }{\partial y}\left [ \frac{5}{3}x^{3}+x^{2}y^{3}+g(y) \right ]=3x^{2}y^{2}-2y^{3}\)
\(3x^{2}y^{2}+g'(y)=3x^{2}y^{2}-2y^{3}\)
\(g'(y)=-2y^{3}\)
maka \(g(y)=\int g'(y)\)
\(=\int -2y^{3}\)
\(=-\frac{1}{2}y^{4}+c\)
Sehingga solusi umum PD :
\(\frac{5}{3}x^{3}+x^{2}y^{3}-\frac {1}{2}y^{4}=c\)
Contoh soal 2
Tentukan solusi PD berikut : \(\frac{xy-1}{x}dx+\frac{xy+1}{y}dy=0\)
Pembahasan :
\(M_{y}=1\)
\(N_{x}=1\)
\(M_{y}=N_{x} \Rightarrow\) PD Eksak
Step 2 : Mencari fungsi potensial.
\(F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)\)
\(=\int ( \frac{xy-1}{x})dx+g(y)\)
\(=xy-\ln x+g(y)\)
Step 3 : Mencari fungsi \(g(y)\).
\(F_{y}(x,y)=N(x,y)\)
\(\frac{\partial }{\partial y}\left [ xy-\ln x+g(y) \right ]=\frac{xy+1}{y}\)
\(x+g'(y)=x+\frac {1}{y}\)
\(g'(y)=\frac {1}{y}\)
maka \(g(y)=\int g'(y)\)
\(=\int \frac {1}{y}\)
\(=\ln y+c\)
Sehingga solusi umum PD :
\(xy-\ln x+\ln y=c\)
\(xy-\ln xy=c\)
Contoh soal 3
Tentukan solusi PD berikut : \(2x^{2}\frac{dy}{dx}+4xy=3 \sin x\) ; \(y(2\pi )=0\)
Pembahasan :
\(2x^{2}\) \(dy=(3 \sin x-4xy)dx\)
\(M_{y}=4x\)
\(N_{x}=4x\)
\(M_{y}=N_{x} \Rightarrow\) PD Eksak
Step 2 : Mencari fungsi potensial.
\(F(x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)\)
\(=\int 2x^{2}dy+g(x)\)
\(=2x^{2}y+g(x)\)
Step 3 : Mencari fungsi \(g(x)\).
\(F_{x}(x,y)=M(x,y)\)
\(\frac{\partial }{\partial x}\left [ 2x^{2}y+g(x) \right ]=4xy-3 \sin x\)
\(4xy+g'(x)=4xy-3 \sin x\)
\(g'(x)=-3 \sin x\)
maka \(g(x)=\int g'(x)\)
\(=\int - 3 \sin x\)
\(=3 \cos x+c\)
Sehingga solusi umum PD :
\(2x^{2}y+3 \cos x =c\)
Step 4 : Menggunakan nilai awal \(y(2\pi)=0\) untuk menemukan solusi khusus.
\(2(2\pi )^{2}(0)+3 \cos 2\pi +c=0\)
\(0+3(1)+c=0 \Rightarrow c=-3\)
Sehingga solusi khusus PD :
\(2x^{2}y+3 \cos x =-3\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Selanjutnya : PD Eksak dengan Faktor Integrasi
Komentar
Posting Komentar