PDB : Persamaan Diferensial Homogen - Orde Satu
Assalamu'alaikum semua :)
Pada bahasan sebelumnya sudah dijelaskan bagaimana cara mencari solusi PD Variabel Terpisah. Namun, pada kenyataannya banyak persamaan diferensial yang tidak dapat diubah langsung ke PD variabel terpisah.
Kondisi seperti ini dapat diselesaikan dengan mereduksi PD ke bentuk variabel terpisah dengan cara mengubah variabel yang sesuai.
Persamaan Diferensial Homogen
Definisi
Suatu persamaan diferensial :
\(f(x,y)\) \(dx+g(x,y)\) \(dy=0\)
dikatakan homogen jika \(f(x,y)\) dan \(g(x,y)\) adalah homogen berderajat sama, dan dapat dinyatakan :
Sementara itu, sifat homogenitas fungsi \(f\) dan \(g\) dapat diketahui melalui definisi berikut.
Definisi
Suatu fungsi \(f(x,y)\) dikatakan homogen berderajat nol jika :
\(f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)\)
untuk semua nilai positif dari \(\lambda\) dengan \((\lambda x,\lambda y)\) dalam domain \(f\). Secara umum \(f(x,y)\) dinyatakan homogen berderajat \(n\) jika terdapat \(\lambda\) sedemikian hingga :
Menentukan Derajat pada PD Homogen
Contoh soal 1
Tunjukkan fungsi \(f(x,y)=\frac {x^{2}-y^{2}}{2xy-y^{2}}\) adalah homogen berderajat nol.
Pembahasan :
\(f(\lambda x,\lambda y)=\frac {(\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}}{2(\lambda x)(\lambda y)+(\lambda y)^{2}}\)
\(=\frac{\lambda ^{2}x^{2}-\lambda ^{2}y^{2}}{2 \lambda ^{2}xy-\lambda ^{2}y^{2}}\)
\(=\frac{\lambda ^{2}(x^{2}-y^{2})}{\lambda ^{2}(2xy-y^{2})}\)
\(=\frac{x^{2}-y^{2}}{2xy-y^{2}}\)
\(=f(x,y)\) ■
Contoh soal 2
Tunjukkan fungsi \(f(x,y)=x^{3}-2xy^{2}+y^{3}\) adalah homogen berderajat 3.
Pembahasan :
\(=\lambda ^{3} x^{3}-2\lambda ^{3}xy^{2}+\lambda ^{3}y^{3}\)
\(=\lambda ^{3} (x^{3}-2xy^{2}+y^{3})\)
\(=\lambda ^{3} f(x,y)\) ■
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Definisi
Jika \(f(x,y)\) homogen berderajat nol, maka :
\(\frac {dy}{dx}=f(x,y)\)
dinamakan persamaan diferensial biasa homogen orde satu.
Persamaan tidak bisa dikerjakan langsung, maka akan dilakukan transformasi pada variabel yang sesuai. Langkah-langkah untuk melakukan transformasi adalah sebagai berikut :
1. Gunakan transformasi untuk mereduksi PD ke bentuk variabel terpisah :
\(y=ux\) sehingga \(dy=x\) \(du+u\) \(du\) atau
\(x=vy\) sehingga \(dx=y\) \(dv+v\) \(dy\)
2. Gunakan aturan PD variabel terpisah untuk mencari solusi umum.
3. Substitusikan kembali \(u=\frac {y}{x}\) jika menggunakan \(y=ux\) dan \(v=\frac {x}{y}\) jika menggunakan \(x=vy\).
Mencari Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Homogen
Contoh soal 1
Selesaikan solusi PD berikut : \((4x^{2}-3y^{2})\) \(dx+4xy\) \(dy=0\)
Pembahasan :
Step 1 : PD homogen berderajat berapa?
Misal : \(f(x,y)=4x^{2}-3y^{2}\) dan \(g(x,y)=4xy\) maka :
- \(f(\lambda x,\lambda y)=4(\lambda x)^{2}-3(\lambda y)^{2}\)
\(=\lambda ^{2} (4x^{2}-3y^{2})\)
\(=\lambda ^{2} f(x,y)\)
- \(g(\lambda x,\lambda y)=4(\lambda x)(\lambda y)\)
\(=\lambda ^{2} (4xy)\)
\(=\lambda ^{2} g(x,y)\)
\(\Rightarrow\) PD Homogen berderajat 2
Step 2 : Substitusi \(y=ux\) dan \(dy=u\) \(dx+x\) \(du\) ke PD awal.
\((4x^{2}-3(ux)^{2})dx+4x(ux)(u\) \(dx+x\) \(du)=0\)
\((4x^{2}-3u^{2}x^{2})dx+4x^{2}u(u\) \(dx+x\) \(du)=0\)
\((4-3u^{2})dx+4u(u\) \(dx+x\) \(du)=0\)
\(4\) \(dx-3u^{2}dx+4u^{2}dx+4xu\) \(du=0\)
\(4\) \(dx+u^{2}dx+4xu\) \(du=0\)
\((4+u^{2})dx+4xu\) \(du=0\)
Step 3 : Kali faktor integral dengan PD yang diperoleh dari step 2.
faktor integral \(=\frac{1}{f_{2}\cdot g_{1}}=\frac{1}{x(4+u^{2})}\)
\(\frac{1}{x(4+u^{2})}[(4+u^{2})dx+4xu\) \(du]=0\)
\(\frac{1}{x}dx+\frac{4u}{4+u^{2}}du=0\)
\(\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{4u}{4+u^{2}}du=\int 0\)
\(\ln x+2 \ln (4+u^{2})=k\)
\(\ln x+\ln (4+u^{2})^{2}=k\)
\(\ln x(4+u^{2})^{2}=k\)
\(x(4+u^{2})^{2}=c\) dengan \(c=e^{k}\)
Step 4 : Substitusi kembali \(u=\frac{y}{x}\) untuk mendapat solusi umum.
\(x\left ( 4+\frac{y^{2}}{x^{2}} \right )^2=c\)
Contoh soal 2
Selesaikan solusi PD berikut : \(\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}e^{-(y/x)}+y^{2}}{xy}\) ; \(y(1)=0\)
Pembahasan :
Step 1 : PD homogen berderajat berapa?
\((x^{2}e^{-(y/x)}+y^{2})dx-xy\) \(dy=0\)
Misal : \(f(x,y)=(x^{2}e^{-(y/x)}+y^{2})\) dan \(g(x,y)=xy\)
- \(f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x)^{2}e^{-(\lambda y/\lambda x)}+(\lambda y)^{2}\)
\(=\lambda ^{2}(x^{2}e^{-(y/x)}+y^{2})\)
\(=\lambda ^{2}f(x,y)\)
- \(g(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x)(\lambda y)\)
\(=\lambda ^{2} (xy)\)
\(=\lambda^{2}g(x,y)\)
\(\Rightarrow\) PD Homogen berderajat 2
Step 2 : Substitusi \(y=ux\) dan \(dy=u\) \(dx+x\) \(du\) ke PD awal.
\((x^{2}e^{-(ux/x)}+(ux)^{2})dx-x(ux)(u\) \(dx+x\) \(du)=0\)
\(x^{2}e^{-u}dx+u^{2}x^{2}dx-u^{2}x^{2}\) \(du-x^{3}u\) \(du=0\)
\(x^{2}e^{-u}dx-x^{3}u\) \(du=0\)
\(e^{-u}dx-xu\) \(du=0\)
Step 3 : Kali faktor integral dengan PD yang diperoleh dari step 2.
faktor integral \(=\frac{1}{f_{2}\cdot g_{1}}=\frac{1}{x(e^{-u})}\)
\(\frac{1}{x(e^{-u})}[e^{-u}dx-xu\) \(du]=0\)
\(\frac{1}{x}dx-\frac{u}{e^{-u}}du=0\)
\(\int \frac{1}{x}dx-\int u\) \(e^{u}du=\int 0\)
\(\ln x-(u\) \(e^{u}-e^{u})=k\)
\(\ln x-(u-1)e^{u}=k\)
Step 4 : Substitusi kembali \(u=\frac{y}{x}\) untuk mendapat solusi umum.
\(\ln x-\left ( \frac{y}{x}-1 \right )e^{y/x}=k\)
Step 5 : Gunakan nilai awal \(y(1)=0\) untuk menemukan solusi khusus.
\(\ln (1)-\left ( \frac{0}{1}-1 \right )e^{0}=k\)
\(0+1=k \Rightarrow k=1\)
Sehingga solusi khusus PD :
\(\ln x-\left ( \frac{y}{x}-1 \right )e^{y/x}=1\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Sebelumnya : PD Reduksi Variabel Terpisah
Komentar
Posting Komentar