PDB : Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan

Assalamu'alaikum semua :)

Melanjutkan materi pertemuan sebelumnya, pembahasan kali ini adalah PDB orde dua koefisien konstan yang merupakan subbab pertama dari bab PD Linear Orde-n. 

Pendahuluan

Definisi

Persamaan diferensial biasa linear orde-n adalah persamaan diferensial yang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui :

    $y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$

yang secara umum ditulis :

    $a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=r(x)$     ... (1)

dengan $a_{n}\neq 0$.

Persamaan Diferensial Linear Homogen Koefisien Konstan

PD homogen koefisien konstan memiliki bentuk umum :

    $a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0$

dimana  koefisien $a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ adalah konstan dan $r(x)=0$.

Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan

Misal PD linear orde dua koefisien konstan :

    $ay''+by'+cy=r(x)$    ... (2)

persamaan (2) disebut linear karena pangkat tertinggi dari $y'',y',$ dan $y$ adalah satu. Jika $r(x)=0$, maka persamaan (2) disebut PD Homogen dengan bentuk :

    $ay''+by'+cy=0$    ... (3)

dengan $a,b,c$ konstanta.

Solusi umum PD homogen (3) berbentuk :

    $y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$

dimana $c_{1},c_{2}$ konstan dan $y_{1}, y_{2}$ fungsi-fungsi dari $x$ yang disebut basis penyelesaian $y$.

Andaikan basis penyelesaian berbentuk :

    $y=e^{\lambda x}$     ... (4)

maka

    $y'=\lambda e^{\lambda x}$    dan     $y''=\lambda^{2} e^{\lambda x}$     ... (5)

Jika (4) dan (5) disubstitusi ke (3) maka :

    $(a\lambda ^{2}+b\lambda +c)e^{\lambda x}=0$

karena $e^{\lambda x}\neq 0$ maka :

    $a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0$     ... (6)

persamaan (6) disebut persamaan karakteristik.

Solusi umum PD homogen akan bergantung pada akar-akar persamaan karakteristik, yaitu : 

• Kasus 1 : Jika $D>0$ maka menghasilkan dua akar real berbeda
• Kasus 2 : Jika $D=0$ maka menghasilkan akar real kembar
• Kasus 3 : Jika $D<0$ maka menghasilkan akar-akar kompleks

dengan $D=\sqrt{b^{2}-4ac}$.

Kasus 1 : Dua Akar Real Berbeda

Jika $D>0$ dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh : 

    $y_{1}=e^{\lambda_{1} x}$     dan    $y_{2}=e^{\lambda_{2} x}$

maka solusi umum PD homogen (3) :

    $y=c_{1}e^{\lambda_{1} x}+c_{2}e^{\lambda_{2} x}$     ... (7)

dimana $c_{1},c_{2}$ konstanta.

Kasus 2 : Akar Real Kembar

Jika $D=0$ dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh : 

    $y_{1}=e^{\lambda x}$     dan    $y_{2}=x$ $e^{ \lambda x}$

maka solusi umum PD homogen (3) :

    $y=(c_{1}+x$ $c_{2})e^{\lambda x}$    ... (8)

dimana $c_{1},c_{2}$ konstanta.

Kasus 3 : Akar Kompleks

Jika $D<0$ maka persamaan karakteristiknya :

    $\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta i$ 

dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh : 

    $y_{1}=e^{(\alpha + \beta i)x}$     dan    $y_{2}=e^{(\alpha - \beta i)x}$

maka solusi umum PD homogen (3) :

    $y=(c_{1} \cos \beta x+c_{2} \sin \beta x)e^{\alpha x}$    ... (9)

dimana $c_{1},c_{2}$ konstanta.

Mencari Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan

Contoh soal 1

Carilah solusi umum PD berikut : $y''+4y-12y=0$

Pembahasan :

Persamaan karakteristik :

    $\lambda ^{2}+4\lambda -12=0$

    $(\lambda -2)(\lambda +6)=0$

    $\lambda _{1}=2$    dan     $\lambda _{2}=-6$

sehingga solusi umum PD untuk dua akar real berbeda yaitu :

    $y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-6 x}$

Contoh soal 2

Carilah solusi PD berikut : $2y''-5y+3y=0$     ;   $y(0)=6$  ;  $y'(0)=13$

Pembahasan :

Persamaan karakteristik :

    $2\lambda ^{2}-5 \lambda +3=0$

    $(2\lambda -3)(\lambda -1)=0$

    $\lambda _{1}=\frac {3}{2}$    dan     $\lambda _{2}=1$

sehingga solusi umum PD untuk dua akar real berbeda yaitu :

    $y=c_{1}e^{\frac {3}{2}x}+c_{2}e^{x}$

    $y'=\frac {3}{2} c_{1}e^{\frac {3}{2}x}+c_{2}e^{x}$

Gunakan nilai awal $y(0)=6$  dan   $y'(0)=13$ 

    $y(0)=6\Rightarrow 6=c_{1}+c_{2}$

    $y'(0)=13\Rightarrow 13=\frac{3}{2}c_{1}+c_{2}$

    diperoleh $c_{1}=14$  dan  $c_{2}=-8$

sehingga solusi khusus PD :

    $y=14e^{\frac {3}{2}x}-8e^{x}$

Contoh soal 3

Carilah solusi umum PD berikut : $y''-8y'+16y=0$

Pembahasan :

Persamaan karakteristik :

    $\lambda ^{2}-8\lambda +16=0$

    $(\lambda -4)(\lambda -4)=0$

    $\lambda _{1,2}=4$   

sehingga solusi umum PD untuk akar kembar yaitu : 

    $y=(c_{1}+x$ $c_{2})e^{4x}$

Contoh soal 4

Carilah solusi PD berikut : $y''-4y'+4y=0$     ;   $y(0)=4$  ;  $y'(0)=3$

Pembahasan :

Persamaan karakteristik :

    $\lambda ^{2}-4 \lambda +4=0$

    $(\lambda -2)(\lambda -2)=0$

    $\lambda _{1,2}=2$  

sehingga solusi umum PD untuk akar kembar yaitu : 

    $y=(c_{1}+x$ $c_{2})e^{2x}$

    $y'=(2c_{1}+2c_{2}$ $x+c_{2})e^{2x}$

Gunakan nilai awal $y(0)=4$  dan   $y'(0)=3$ 

    $y(0)=4\Rightarrow 4=(c_{1}+0) \cdot 1$

    $y'(0)=3\Rightarrow 3=(2 \cdot 4 +0+c_{2}) \cdot 1$

    diperoleh $c_{1}=4$  dan  $c_{2}=-5$

sehingga solusi khusus PD :

    $y=(4-5x)e^{2x}$

Contoh soal 5

Carilah solusi PD berikut : $4y''-4y'+5y=0$     ;   $y(0)=2$  ;  $y'(0)=11$

Pembahasan :

Persamaan karakteristik :

    $4\lambda ^{2}-4 \lambda +5=0$

    karena $D<0$ maka

    $\lambda _{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-4(4)(5)}}{2(4)}$

    $\lambda _{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{-64}}{8}$

    $\lambda _{1,2}=\frac {1}{2} \pm i$ 

    dimana $\alpha =\frac{1}{2}$  dan  $\beta =1$ 

sehingga solusi umum PD untuk akar kompleks yaitu : 

    $y=(c_{1} \cos x +c_{2} \sin x)e^{\frac{1}{2}x}$

    $y'=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}(c_{1} \cos x +c_{2} \sin x)+(-c_{1} \sin x+c_{2} \cos x)e^{\frac{1}{2}x}$

Gunakan nilai awal $y(0)=2$  dan   $y'(0)=11$ 

    $y(0)=2\Rightarrow 2=(c_{1} \cdot 1+0) \cdot 1$

    $y'(0)=11\Rightarrow 11=\frac {1}{2} ( 2 \cdot 1 +0)+(0+c_{2} \cdot 1)\cdot 1$

    diperoleh $c_{1}=2$  dan  $c_{2}=10$

sehingga solusi khusus PD :

    $y=(2 \cos x +10 \sin x)e^{\frac{1}{2}x}$

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Metode Koefisien Tak Tentu

Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Metode Variasi Parameter