PDB : Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan
Assalamu'alaikum semua :)
Melanjutkan materi pertemuan sebelumnya, pembahasan kali ini adalah PDB orde dua koefisien konstan yang merupakan subbab pertama dari bab PD Linear Orde-n.
Pendahuluan
Definisi
Persamaan diferensial biasa linear orde-n adalah persamaan diferensial yang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui :
\(y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)
yang secara umum ditulis :
\(a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=r(x)\) ... (1)
dengan \(a_{n}\neq 0\).
Persamaan Diferensial Linear Homogen Koefisien Konstan
PD homogen koefisien konstan memiliki bentuk umum :
\(a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\)
dimana koefisien \(a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}\) adalah konstan dan \(r(x)=0\).
Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan
Misal PD linear orde dua koefisien konstan :
\(ay''+by'+cy=r(x)\) ... (2)
persamaan (2) disebut linear karena pangkat tertinggi dari \(y'',y',\) dan \(y\) adalah satu. Jika \(r(x)=0\), maka persamaan (2) disebut PD Homogen dengan bentuk :
\(ay''+by'+cy=0\) ... (3)
dengan \(a,b,c\) konstanta.
Solusi umum PD homogen (3) berbentuk :
\(y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\)
dimana \(c_{1},c_{2}\) konstan dan \(y_{1}, y_{2}\) fungsi-fungsi dari \(x\) yang disebut basis penyelesaian \(y\).
Andaikan basis penyelesaian berbentuk :
\(y=e^{\lambda x}\) ... (4)
maka
\(y'=\lambda e^{\lambda x}\) dan \(y''=\lambda^{2} e^{\lambda x}\) ... (5)
Jika (4) dan (5) disubstitusi ke (3) maka :
\((a\lambda ^{2}+b\lambda +c)e^{\lambda x}=0\)
karena \(e^{\lambda x}\neq 0\) maka :
\(a\lambda ^{2}+b\lambda +c=0\) ... (6)
persamaan (6) disebut persamaan karakteristik.
Solusi umum PD homogen akan bergantung pada akar-akar persamaan karakteristik, yaitu :
- Kasus 1 : Jika \(D>0\) maka menghasilkan dua akar real berbeda
- Kasus 2 : Jika \(D=0\) maka menghasilkan akar real kembar
- Kasus 3 : Jika \(D<0\) maka menghasilkan akar-akar kompleks
Kasus 1 : Dua Akar Real Berbeda
Jika \(D>0\) dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh :
\(y_{1}=e^{\lambda_{1} x}\) dan \(y_{2}=e^{\lambda_{2} x}\)
maka solusi umum PD homogen (3) :
\(y=c_{1}e^{\lambda_{1} x}+c_{2}e^{\lambda_{2} x}\) ... (7)
dimana \(c_{1},c_{2}\) konstanta.
Kasus 2 : Akar Real Kembar
Jika \(D=0\) dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh :
\(y_{1}=e^{\lambda x}\) dan \(y_{2}=x\) \(e^{ \lambda x}\)
maka solusi umum PD homogen (3) :
\(y=(c_{1}+x\) \(c_{2})e^{\lambda x}\) ... (8)
dimana \(c_{1},c_{2}\) konstanta.
Kasus 3 : Akar Kompleks
Jika \(D<0\) maka persamaan karakteristiknya :
\(\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta i\)
dengan basis-basis solusi yang diberikan oleh :
\(y_{1}=e^{(\alpha + \beta i)x}\) dan \(y_{2}=e^{(\alpha - \beta i)x}\)
maka solusi umum PD homogen (3) :
\(y=(c_{1} \cos \beta x+c_{2} \sin \beta x)e^{\alpha x}\) ... (9)
dimana \(c_{1},c_{2}\) konstanta.
Mencari Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Linear Homogen Orde Dua Koefisien Konstan
Contoh soal 1
Carilah solusi umum PD berikut : \(y''+4y-12y=0\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik :
\(\lambda ^{2}+4\lambda -12=0\)
\((\lambda -2)(\lambda +6)=0\)
\(\lambda _{1}=2\) dan \(\lambda _{2}=-6\)
sehingga solusi umum PD untuk dua akar real berbeda yaitu :
\(y=c_{1}e^{2x}+c_{2}e^{-6 x}\)
Contoh soal 2
Carilah solusi PD berikut : \(2y''-5y+3y=0\) ; \(y(0)=6\) ; \(y'(0)=13\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik :
\(2\lambda ^{2}-5 \lambda +3=0\)
\((2\lambda -3)(\lambda -1)=0\)
\(\lambda _{1}=\frac {3}{2}\) dan \(\lambda _{2}=1\)
sehingga solusi umum PD untuk dua akar real berbeda yaitu :
\(y=c_{1}e^{\frac {3}{2}x}+c_{2}e^{x}\)
\(y'=\frac {3}{2} c_{1}e^{\frac {3}{2}x}+c_{2}e^{x}\)
Gunakan nilai awal \(y(0)=6\) dan \(y'(0)=13\)
\(y(0)=6\Rightarrow 6=c_{1}+c_{2}\)
\(y'(0)=13\Rightarrow 13=\frac{3}{2}c_{1}+c_{2}\)
diperoleh \(c_{1}=14\) dan \(c_{2}=-8\)
sehingga solusi khusus PD :
\(y=14e^{\frac {3}{2}x}-8e^{x}\)
Contoh soal 3
Carilah solusi umum PD berikut : \(y''-8y'+16y=0\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik :
\(\lambda ^{2}-8\lambda +16=0\)
\((\lambda -4)(\lambda -4)=0\)
\(\lambda _{1,2}=4\)
sehingga solusi umum PD untuk akar kembar yaitu :
\(y=(c_{1}+x\) \(c_{2})e^{4x}\)
Contoh soal 4
Carilah solusi PD berikut : \(y''-4y'+4y=0\) ; \(y(0)=4\) ; \(y'(0)=3\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik :
\(\lambda ^{2}-4 \lambda +4=0\)
\((\lambda -2)(\lambda -2)=0\)
\(\lambda _{1,2}=2\)
sehingga solusi umum PD untuk akar kembar yaitu :
\(y=(c_{1}+x\) \(c_{2})e^{2x}\)
\(y'=(2c_{1}+2c_{2}\) \(x+c_{2})e^{2x}\)
Gunakan nilai awal \(y(0)=4\) dan \(y'(0)=3\)
\(y(0)=4\Rightarrow 4=(c_{1}+0) \cdot 1\)
\(y'(0)=3\Rightarrow 3=(2 \cdot 4 +0+c_{2}) \cdot 1\)
diperoleh \(c_{1}=4\) dan \(c_{2}=-5\)
sehingga solusi khusus PD :
\(y=(4-5x)e^{2x}\)
Contoh soal 5
Carilah solusi PD berikut : \(4y''-4y'+5y=0\) ; \(y(0)=2\) ; \(y'(0)=11\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik :
\(4\lambda ^{2}-4 \lambda +5=0\)
karena \(D<0\) maka
\(\lambda _{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-4(4)(5)}}{2(4)}\)
\(\lambda _{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{-64}}{8}\)
\(\lambda _{1,2}=\frac {1}{2} \pm i\)
dimana \(\alpha =\frac{1}{2}\) dan \(\beta =1\)
sehingga solusi umum PD untuk akar kompleks yaitu :
\(y=(c_{1} \cos x +c_{2} \sin x)e^{\frac{1}{2}x}\)
\(y'=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}(c_{1} \cos x +c_{2} \sin x)+(-c_{1} \sin x+c_{2} \cos x)e^{\frac{1}{2}x}\)
Gunakan nilai awal \(y(0)=2\) dan \(y'(0)=11\)
\(y(0)=2\Rightarrow 2=(c_{1} \cdot 1+0) \cdot 1\)
\(y'(0)=11\Rightarrow 11=\frac {1}{2} ( 2 \cdot 1 +0)+(0+c_{2} \cdot 1)\cdot 1\)
diperoleh \(c_{1}=2\) dan \(c_{2}=10\)
sehingga solusi khusus PD :
\(y=(2 \cos x +10 \sin x)e^{\frac{1}{2}x}\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Metode Koefisien Tak Tentu
Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Metode Variasi Parameter
Komentar
Posting Komentar