PDB : Persamaan Diferensial Eksak Dengan Faktor Integrasi

Assalamu'alaikum semua :)

Sebelumnya kita sudah membahas cara menyelesaikan PD Eksak. Namun, tidak semua PD dapat dikatakan eksak, sehingga untuk menyelesaikan permasalahan ini dapat dilakukan dengan cara mengalikan PD dengan faktor integrasi sehingga PD menjadi eksak.

Persamaan Diferensial Eksak Dengan Faktor Integrasi

Definisi

Suatu fungsi taknol \(I(x,y)\) dikatakan faktor integrasi dari (1) jika persamaan diferensial :

    \(I(x,y)M(x,y)dx+I(x,y)N(x,y)dy=0\)

memenuhi kriteria eksak.

Contoh soal

Tunjukkan \(I=\cos (xy)\) adalah faktor integrasi dari PD : \(\left [ \tan (xy)+xy \right ]dx+x^{2}dy=0\)

Pembahasan :

    \(M_{y}=x \sec^{2}(xy)+x\)

    \(N_{x}=2x\)

    \(M_{y}\neq N_{x} \Rightarrow\) PD tak eksak

Dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrasi, maka :

    \(\cos (xy)\cdot \left [ \frac{\sin (xy)}{\cos (xy)}+xy \right ]dx+\cos (xy)\cdot x^{2}dy=0\)

    \((\sin (xy)+xy \cos (xy))dx+(x^{2}\cos (xy))dy=0\)

sehingga :

    \(M_{y}=2x \cos (xy)-x^{2}y \sin (xy)\)

    \(N_{x}=2x \cos (xy)-x^{2}y \sin (xy)\)

    \(M_{y}=N_{x} \Rightarrow \) PD eksak

Maka terbukti \(\cos (xy)\) adalah faktor integrasi dari PD tersebut.

Jenis-Jenis Faktor Integrasi PD Eksak

Ada 3 jenis faktor integrasi yang dapat digunakan untuk mencari solusi umum, yaitu :

1. Faktor integrasi yang hanya bergantung pada \(x\)

    \(p(x)=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\)  sehingga  \(I(x)=e^{\int p(x)dx}\)

2. Faktor integrasi yang hanya bergantung pada \(y\)

    \(q(y)=-\frac{M_{y}-N_{x}}{M}\)  sehingga  \(I(y)=e^{\int q(y)dy}\)

3. Faktor integrasi yang bergantung pada \(x\) dan \(y\)

    \(r(z)=\frac{M_{y}-N_{x}}{yN-xM}\)  sehingga  \(I(z)=e^{\int r(z)dz}\)

Mencari Solusi Umum PD Eksak Dengan Faktor Integrasi

Contoh soal 1

Tentukan faktor integrasi dan solusi umum PD berikut : \((4x^{3}+x^{2}-y^{2})\) \(dx+2xy\) \(dy=0\)

Pembahasan :

Step 1 : Mencari faktor integrasi.

Karena PD tersebut tak eksak, maka akan dicari faktor integrasi yang sesuai untuk membuat PD menjadi eksak. Jika dilihat lagi, \(N\) bentuknya lebih sederhana maka kita bisa memilih faktor integrasi yang memiliki penyebut \(N\) untuk mempermudah pengerjaan.

    \(M_{y}=-2y\)

    \(N_{x}=2y\)

Karena \(M_{y} \neq N_{x} \Rightarrow\) PD tak eksak. Sehingga dicari faktor integrasi :

    - \(p(x)=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}=\frac {-4y}{2xy}=-\frac {2}{x}\)

    - \(I(x)=e^{\int -\frac{2}{x}dx}\)

            \(=e^{-2 \ln x}=e^{\ln x^{-2}}\)

            \(=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\)

Step 2 : Kalikan faktor integrasi pada PD awal.

    \(\frac {1}{x^{2}}\cdot [4x^{3}+x^{2}-y^{2}]\) \(dx+\frac {1}{x^{2}}\cdot [2xy]\) \(dy=0\)

    \(\left [ 4x+1-\frac{y^{2}}{x^{2}} \right ]dx+\left [ \frac{2y}{x} \right ]dy=0\)

        \(M_{y}=-\frac{2y}{x^{2}}\)

        \(N_{x}=-\frac{2y}{x^{2}}\)

    \(M_{y}=N_{x} \Rightarrow \) PD eksak

Step 3 : Mencari fungsi potensial dari PD eksak yang diperoleh dari step 2.

    \(F(x,y)=\int N(x,y)dy+g(x)\)

            \(=\int \frac{2y}{x}\) \(dy+g(x)\)

            \(=\frac{y^{2}}{x}+g(x)\)

Step 4 : Mencari fungsi \(g(x)\).

    \(F_{x}(x,y)=M(x,y)\)

    \(\frac{\partial }{\partial x}\left [ \frac{y^{2}}{x}+g(x) \right ]=4x+1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\)

    \(-\frac {y^{2}}{x^{2}}+g'(x)=4x+1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\)

    \(g'(x)=4x+1\)

    maka \(g(x)=\int 4x+1=2x^{2}+x+c\)

Sehingga solusi umum PD :

    \(\frac{y^{2}}{x}+2x^{2}+x=c\)

Contoh soal 2

Tentukan faktor integrasi dan solusi umum PD berikut : \((y^{2}e^{x}+xy)dx+(4ye^{x}+\frac{3}{2}x^{2}+4y)dy=0\)

Pembahasan :

Step 1 : Mencari faktor integrasi.

Karena PD tersebut tak eksak, maka akan dicari faktor integrasi yang sesuai untuk membuat PD menjadi eksak. Jika dilihat lagi, \(M\) bentuknya lebih sederhana maka kita bisa memilih faktor integrasi yang memiliki penyebut \(M\) untuk mempermudah pengerjaan.

    \(M_{y}=2ye^{x}+x\)

    \(N_{x}=4ye^{x}+3x\)

Karena \(M_{y} \neq N_{x} \Rightarrow\) PD tak eksak. Sehingga dicari faktor integrasi :

    - \(q(y)=-\frac{M_{y}-N_{x}}{M}=-\frac {-(2ye^{x}+2x)}{y^{2}e^{x}+xy}=\frac {2(ye^{x}+x)}{y(ye^{x}+x)}=\frac {2}{y}\)

    - \(I(y)=e^{\int \frac{2}{y}dy}\)

            \(=e^{2 \ln y}=e^{\ln y^{2}}=y^{2}\)

Step 2 : Kalikan faktor integrasi pada PD awal.

    \(y^{2} \cdot [y^{2}e^{x}+xy]\) \(dx+y^{2}\cdot [4ye^{x}+\frac{3}{2}x^{2}+4y]\) \(dy=0\)

    \(\left [ y^{4}e^{x}+xy^{3} \right ]dx+\left [ 4y^{3}e^{x}+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+4y^{3}\right ]dy=0\)

        \(M_{y}=4y^{3}e^{x}+3xy^{2}\)

        \(N_{x}=4y^{3}e^{x}+3xy^{2}\)

    \(M_{y}=N_{x} \Rightarrow \) PD eksak

Step 3 : Mencari fungsi potensial dari PD eksak yang diperoleh dari step 2.

    \(F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)\)

            \(=\int (y^{4}e^{x}+xy^{3})dx+g(y)\)

            \(=e^{x}y^{4}+\frac{1}{2}x^{2}y^{3}+g(y)\)

Step 4 : Mencari fungsi \(g(y)\).

    \(F_{y}(x,y)=N(x,y)\)

    \(\frac{\partial }{\partial y}\left [ e^{x}y^{4}+\frac{1}{2}x^{2}y^{3}+g(y) \right ]=4y^{3}e^{x}+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+4y^{3}\)

    \(4y^{3}e^{x}+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+g'(y)=4y^{3}e^{x}+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}+4y^{3}\)

    \(g'(y)=4y^{3}\)

    maka \(g(y)=\int 4y^{3}=y^{4}+c\)

Sehingga solusi umum PD :

    \(e^{x}y^{4}+\frac{1}{2}x^{2}y^{3}+y^{4}=c\)

Contoh soal 3

Tentukan faktor integrasi dan solusi umum PD berikut : \((3x^{3}-5x^{2}y)dx+(5xy^{2}-3x^{3})dy=0\)

Pembahasan :

Step 1 : Mencari faktor integrasi.

Karena PD tersebut tak eksak, maka akan dicari faktor integrasi yang sesuai untuk membuat PD menjadi eksak. 

    \(M_{y}=9y^{2}-5x^{2}\)

    \(N_{x}=5y^{2}-9x^{2}\)

Karena \(M_{y} \neq N_{x} \Rightarrow\) PD tak eksak. Perhatikan bahwa persamaan mengandung \(x\) dan \(y\) maka faktor integrasi yang cocok adalah jenis ketiga yaitu :

    - \(r(z)=\frac{M_{y}-N_{x}}{yN-xM}=\frac{9y^{2}-5x^{2}-5y^{2}+9x^{2}}{y(5xy^{2}-3x^{3})-x(3y^{3}-5x^{2}y)}\)

            \(=\frac{4(x^{2}+y^{2})}{2xy(x^{2}+y^{2})}=\frac{2}{xy}\)

    - \(I(z)=e^{\int \frac{2}{xy}}\)

            \(=e^{2 \ln xy}=e^{\ln (xy)^{2}}=x^{2}y^{2}\)

Step 2 : Kalikan faktor integrasi pada PD awal.

    \(x^{2}y^{2} \cdot [3x^{3}-5x^{2}y]\) \(dx+x^{2}y^{2}\cdot [5xy^{2}-3x^{3}]\) \(dy=0\)

    \(\left [ 3x^{2}y^{5}-5x^{4}y^{3} \right ]dx+\left [ 5x^{3}y^{4}-3x^{5}y^{2}\right ]dy=0\)

        \(M_{y}=15x^{2}y^{4}-15x^{4}y^{2}\)

        \(N_{x}=15x^{2}y^{4}-15x^{4}y^{2}\)

    \(M_{y}=N_{x} \Rightarrow \) PD eksak

Step 3 : Mencari fungsi potensial dari PD eksak yang diperoleh dari step 2.

    \(F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)\)

            \(=\int (3x^{2}y^{5}-5x^{4}y^{3})dx+g(y)\)

            \(=x^{3}y^{5}-x^{5}y^{3}+g(y)\)

Step 4 : Mencari fungsi \(g(y)\).

    \(F_{y}(x,y)=N(x,y)\)

    \(\frac{\partial }{\partial y}\left [ x^{3}y^{5}-x^{5}y^{3}+g(y) \right ]=5x^{3}y^{4}-3x^{5}y^{2}\)

    \(5x^{3}y^{4}-x^{5}y^{2}+g'(y)=5x^{3}y^{4}-x^{5}y^{2}\)

    \(g'(y)=0\)

    maka \(g(y)=\int 0=c\)

Sehingga solusi umum PD :

    \(x^{3}y^{5}-x^{5}y^{3}=c\)

*note : tulisan biru artinya PD sudah eksak.

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Sebelumnya : PD Eksak