PDB : Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde Dua Metode Variasi Parameter

Assalamu'alaikum semua :)

Setelah memahami cara mencari solusi PD linear non homogen orde dua menggunakan metode koefisien tak tentu, maka sekarang kita akan mempelajari cara mencari solusi PD linear non homogen orde dua menggunakan metode variasi parameter.

Untuk memahami materi ini, harus dipastikan kita sudah mengerti cara mencari solusi PD linear homogen agar bisa menyelesaikan permasalahan PD linear non homogen.

Persamaan Diferensial Linear Non Homogen 

Solusi umum PD linear non homogen dapat dinyatakan :

    $y=y_{h}+y_{p}$     ... (1)

Metode Variasi Parameter

Metode ini adalah metode untuk menentukan solusi khusus atau solusi partikular $y_{p}$ PD linear non homogen koefisien variabel. Prinsip metode ini adalah mengubah variabel konstanta $c_{k}$ dengan variasi parameter $v_{k}(x)$.

Misal PD linear non homogen orde dua konstanta $c_{1}$ dan $c_{2}$ pada solusi umum PD homogen  $y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$  diubah menjadi variasi parameter $v_{1}$ dan $v_{2}$ sehingga solusi partikular PD linear non homogen menjadi :

    $y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$    ... (2)

Metode ini lebih umum daripada metode koefisien tak tentu.

PD linear non homogen orde dua dengan koefisien variabel yang diselesaikan dengan metode variasi parameter mempunyai bentuk umum :

    $y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$     ... (3)

Menyelesaikan PD Linear Non Homogen Orde Dua Menggunakan Metode Variasi Parameter

Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode variasi parameter adalah sebagai berikut :

1. Menentukan solusi homogen

    $y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}$  

2. Menentukan solusi partikular dengan variasi parameter    

        menggunakan solusi umum

        $y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$

        dengan

        $v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0$

        $v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'=r(x)$

        dengan menggunakan metode Creamer diperoleh

        $v_{1}'=\frac{W_{1}}{W}=\frac{-y_{2}\cdot r(x)}{W}$  $\Rightarrow v_{1}=\int \frac{W_{1}}{W}dx$

        $v_{2}'=\frac{W_{2}}{W}=\frac{y_{1}\cdot r(x)}{W}$  $\Rightarrow v_{2}=\int \frac{W_{2}}{W}dx$

        dimana 

        $W= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}$  ;   $W_{1}=\begin{vmatrix} 0 & y_{2}\\ r(x) & y_{2}'\end{vmatrix}$  ;    $W_{2}=\begin{vmatrix} y_{1} & 0\\ y_{1}' & r(x)\end{vmatrix}$

        dimana $W$ merupakan determinan matriks pada persamaan yang disebut Wornskian dan $W_{i}$ (dengan $i=1,2$) diperoleh dari $W$ dengan mengganti kolom ke-$i$ dengan koefisien pada ruas paling kanan.

        Maka didapat $y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}$

3. Menyusun solusi umum

    $y=y_{h}+y_{p}$

Mencari Solusi Umum PD Linear Non Homogen Orde Dua Menggunakan Metode Variasi Parameter

Contoh soal 1

Carilah solusi umum PD berikut : $y''+y=\sec x$

Pembahasan :

Langkah 1 : Menentukan solusi homogen

    $\lambda ^{2}+1=0$

    $\lambda _{1,2}=\frac{0\pm \sqrt{0-4(1)(1)}}{2(1)}=0\pm i$ 

    maka $\alpha =0$  dan  $\beta=1$

    $y_{h}=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x$

Langkah 2 : Mencari solusi partikular

    - solusi umum

        $y_{p}=v_{1}\cos x+v_{2}\sin x$

    - menentukan $v_{1}$ dan $v_{2}$ 

        $v_{1}'\cos x+ v_{2}'\sin x=0$

        $-v_{1}'\sin x+v_{2}'\cos x=\sec x$

        dengan metode Creamer diperoleh

        $W=\begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$ 

        $W_{1}=\begin{vmatrix} 0 & \sin x\\ \sec x & \cos x \end{vmatrix}=-\tan x$  

        $W_{2}=\begin{vmatrix} \cos x & 0\\ -\sin x & \sec x \end{vmatrix}=1$

        sehingga

        $v_{1}'=\frac{W_{1}}{W}=\frac {-\tan x}{1}=-\tan x$  maka  $v_{1}=-\int \tan x=\ln \cos x$

        $v_{2}'=\frac{W_{2}}{W}=\frac {1}{1}=1$  maka  $v_{2}=\int 1=x$

        maka

        $y_{p}=\ln (\cos x) \cos x +x \sin x$

Langkah 3 : Menyusun solusi umum PD

    $y=y_{h}+y_{p}$

    $y=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x+\ln (\cos x) \cos x +x \sin x$

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Selanjutnya : PD Linear Non Homogen Orde-n Metode Variasi Parameter

Sebelumnya : PD Linear Non Homogen Metode Koefisien Tak Tentu

Terkait : PD Linear Homogen