PDB : Persamaan Diferensial Linear Homogen Orde-n Koefisien Konstan
Assalamu'alaikum semua :)
Materi ini adalah lanjutan dari materi PD linear homogen orde dua koefisien konstan. Konsep dan teknik penyelesaiannya persis seperti orde dua, hanya saja kali ini berorde lebih dari dua (higher order).
Pendahuluan
Definisi
Persamaan diferensial biasa linear orde-n adalah persamaan diferensial yang memuat turunan ke-n dari suatu fungsi yang tak diketahui :
\(y^{(n)}=\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)
yang secara umum ditulis :
\(a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=r(x)\) ... (1)
dengan \(a_{n}\neq 0\).
Persamaan Diferensial Homogen Orde Tinggi Koefisien Konstan
PD homogen koefisien konstan memiliki bentuk umum :
\(a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}y=0\)
dimana koefisien \(a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}\) adalah konstan dan \(r(x)=0\).
Solusi umum PD homogen akan bergantung pada akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencari akar-akarnya disarankan menggunakan metode horner. Terdapat 3 kasus berbeda (+1 kasus spesial) untuk menentukan solusi umum yang bersesuaian dengan akar-akar yang diperoleh.
Kasus 1 : Akar-Akar Real Berbeda
Misal akar-akar karakteristiknya
\(\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\neq \lambda _{3}\neq ...\neq \lambda _{n}\)
maka solusi umumnya
\(y=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}+...+C_{n}e^{\lambda _{n}x}\)
Kasus 2 : Akar-Akar Real Kembar
Misal akar-akar karakteristiknya
\(\lambda _{1}= \lambda _{2}= \lambda _{3}=...= \lambda _{n}\)
maka solusi umumnya
\(y=C_{1}e^{\lambda x}+C_{2}xe^{\lambda x}+...+C_{n}x^{n-1}e^{\lambda x}\)
Kasus 3 : Akar-Akar Kompleks
Jika akar-akar karakteristiknya
\(\lambda_{1,2}=\alpha \pm \beta i\)
maka solusi umumnya
\(y=c_{1}e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2}e^{\alpha x} \sin \beta x\)
Kasus 4 : Akar-Akar Kompleks dan Kembar
Jika akar-akar karakteristiknya
\(\lambda_{1,2}=\lambda_{3,4}=...=\lambda_{n-1,n}=\alpha \pm \beta i\)
maka solusi umumnya
\(y=c_{1}e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{2}e^{\alpha x} \sin \beta x+c_{3}xe^{\alpha x} \cos \beta x+c_{4}xe^{\alpha x} \sin \beta x+...+c_{n}x^{n-1}e^{\alpha x} \cos \beta x+c_{n}x^{n-1}e^{\alpha x} \sin \beta x\)
Mencari Solusi Umum dan Solusi Khusus PD Linear Homogen Orde-n Koefisien Konstan
Contoh soal 1 (kasus 1)
Carilah solusi umum PD berikut : \(y^{(4)}-5y'''+5y''+5y'-6y=0\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik
\(\lambda ^{4}-5\lambda ^{3}+5\lambda ^{2}+5\lambda -6=0\)
dengan menggunakan horner diperoleh akar-akar
\((\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda -2)(\lambda -3)=0\)
\(\lambda _{1}=1\) ; \(\lambda _{2}=-1\) ; \(\lambda _{3}=2\) ; \(\lambda _{4}=3\)
sehingga solusi umumnya
\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{2x}+C_{4}e^{3x}\)
Contoh soal 2 (kasus 3)
Carilah solusi umum PD berikut : \(y^{(4)}-10y'''+41y''-76y'+52y=0\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik
\(\lambda ^{4}-10\lambda ^{3}+41\lambda ^{2}-76\lambda -6=0\)
dengan menggunakan horner diperoleh akar-akar
\((\lambda -2)(\lambda -2)(\lambda ^{2}-6\lambda +13)=0\)
\(\lambda _{1,2}=2\) ; \(\lambda _{3,4}=3\pm 2i\)
sehingga solusi umumnya
\(y=C_{1}e^{2x}+C_{2}xe^{2x}+C_{3}e^{3x}\cos 2x+C_{4}e^{3x}\sin 2x\)
Contoh soal 3 (kasus 4)
Carilah solusi umum PD berikut : \(y^{(4)}+2y''+y=0\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik
\(\lambda ^{4}+2\lambda ^{2}+\lambda=0\)
dengan menggunakan rumus ABC diperoleh akar-akar
\((\lambda ^{2}+1)^{2}=0\)
\(\lambda _{1,2}=0\pm i\)
\(((\lambda +i)(\lambda -i))^{2}=0\)
\(\lambda _{1,2}=\lambda _{3,4}=\pm i\)
sehingga solusi umumnya
\(y=c_{1}\cos x+c_{2} \sin x+c_{3}x \cos x+c_{4}x \sin x\)
Contoh soal 4 (kasus 1)
Carilah solusi khusus PD berikut : \(y^{(4)}+y'''-7y''-y'+6y=0\)
dengan nilai awal \(y(0)=1\) ; \(y'(0)=0\) ; \(y''(0)=-2\) ; \(y'''(0)=-1\)
Pembahasan :
Persamaan karakteristik
\(\lambda ^{4}+\lambda ^{3}-7\lambda ^{2}-\lambda +6=0\)
dengan menggunakan horner diperoleh akar-akar
\((\lambda -1)(\lambda +1)(\lambda +3)(\lambda -2)=0\)
\(\lambda _{1}=1\) ; \(\lambda _{2}=-1\) ; \(\lambda _{3}=-3\) ; \(\lambda _{4}=2\)
sehingga solusi umumnya
\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+C_{3}e^{-3x}+C_{4}e^{2x}\)
\(y'=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-3C_{3}e^{-3x}+2C_{4}e^{2x}\)
\(y''=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+9C_{3}e^{-3x}+4C_{4}e^{2x}\)
\(y'''=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}-27C_{3}e^{-3x}+8C_{4}e^{2x}\)
substitusi nilai awal diperoleh
\(y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}=1\)
\(y'(0)=C_{1}-C_{2}-3C_{3}+2C_{4}=0\)
\(y''(0)=C_{1}+C_{2}+9C_{3}+4C_{4}=-2\)
\(y'''(0)=C_{1}-C_{2}-27C_{3}+8C_{4}=-1\)
dengan menggunakan SPL maka
\(C_{1}=\frac {11}{8}\) ; \(C_{2}=\frac {5}{12}\) ; \(C_{3}=-\frac {1}{8}\) ; \(C_{4}=-\frac {2}{3}\)
sehingga solusi khusus PD adalah
\(y=\frac {11}{8}e^{x}+\frac {5}{12}e^{-x}-\frac {1}{8}e^{-3x}-\frac {2}{3}e^{2x}\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Terkait : PD Linear Homogen
Komentar
Posting Komentar