Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526

Assalamu'alaikum semua :)

Semoga teman-teman sedang dalam keadaan sehat dan happy ya! Pada kesempatan kali ini saya akan share pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526. Perhatikan kembali, apabila ada kesalahan silahkan tulis di kolom komentar. Enjoy!

^^

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 1
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $(^{(2-x)}\textrm{log}27)^2=9$, maka nilai $x_1+x_2$ adalah …
a.  $\frac{8}{3}$                d.  $-\frac{2}{3}$ 
b.  $\frac{5}{3}$                e.  $-\frac{8}{3}$ 
c.  $\frac{2}{3}$

Pembahasan:
$(^{(2-x)}\textrm{log}27)^2=(\pm 3)^2$
Ingat.  $^a\textrm{log}b=c\Leftrightarrow a^c=b$

$^{(2-x)}\textrm{log}27=3$ $(2-x)^3=27$ $(2-x)^3=3^3$ $2-x=3$ $x=-1$

$^{(2-x)}\textrm{log}27=-3$ $(2-x)^{-3}=27$ $(2-x)^{-3}=\frac{1}{3}^{-3}$ $2-x=\frac{1}{3}$ $x=\frac{5}{3}$

Diperoleh  $x_1+x_2=-1+\frac{5}{3}=\frac{2}{3}$   (C)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 2
Jika $A=\begin{pmatrix}a&1\\b&2\\\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}a&1\\1&0\\\end{pmatrix},$ dan $AB=\begin{pmatrix}10&a\\14&b\\\end{pmatrix},$ maka nilai $ab$ adalah ...
a.  9                   d.  14 
b.  10                 e.  16
c.  12

Pembahasan:
$AB=\begin{pmatrix}a^2+1&a\\{\color{Red} {ab+2}}&b\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&a\\{\color{Red} {14}}&b\\\end{pmatrix}$
$ab=14-2=12$  (C)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 3
Diketahui persegi panjang $ABCD$ dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika $E$ merupakan titik potong diagonal persegi panjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ adalah … 
a.  $30^{\circ}$            d.  $75^{\circ}$
b.  $45^{\circ}$            e.  $90^{\circ}$
c.  $60^{\circ}$

Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut.

$AC=\sqrt{(\sqrt{15})^2+(\sqrt{5})^2}$
        $=\sqrt{15+5}$
        $=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
Maka $EC=\sqrt{5}=EB$ 
Perhatikan $BEC$ adalah segitiga sama sisi. Sudut pada segitiga sama sisi adalah masing-masing $60^{\circ}$ (C)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 4
Sebelas siswa mengikuti suatu tes dan median nilai tes mereka adalah 91. Jika sudah diketahui tiga siswa memperoleh nilai 100, satu siswa memperoleh nilai 96, tiga siswa memperoleh nilai 90, serta dua siswa memperoleh 86, maka nilai dua siswa yang belum diketahui yang paling mungkin adalah …
a.  100 dan 100 d.   93 dan 91
b.  100 dan 90 e.   91 dan 86
c.  95 dan 90

Pembahasan:
Karena jumlah datanya 11 (ganjil), maka median adalah data ke-6
Susunan nilai:  86, 86, 90, 90, 90, (91), ( ... ), 96, 100, 100, 100
Jawaban yang mungkin adalah (D). Pilihan (E) tidak mungkin karena apabila 86 masuk ke dalam susunan nilai, mediannya bukan 91.

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 5
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x}\geq 0$ adalah ...
a.  {$x|x\leq -3$ atau $x\geq 2$}
b.  {$x|x\leq -3$ atau $2\leq x\leq 6$}
c.  {$x|0\leq x\leq 6$}
d.  {$x|2\leq x\leq 6$}
e.  {$x|x\leq 6$}

Pembahasan:
$x\geq \sqrt{6-x}$ 
$x^2\geq 6-x$
$x^2+x-6\geq 0$
$\left ( x+3 \right )\left ( x-2 \right )\geq 0$
$x_1=-3$ atau $x_2=2$
Syarat:
$6-x\geq 0$
        $x\leq 6$
Akibatnya: karena sisi kanan pasti positif maka sisi kiri juga positif, sehingga 
$x\geq 0$
Dengan demikian diperoleh:

Maka HP = {$x|2\leq x\leq 6$}  (D)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 6
Diketahui sistem persamaan linear $x+2y=a$ dan $2x-y=3$. Jika $a$ merupakan bilangan positif terkecil sehingga sistem persamaan linear tersebut mempunyai penyelesaian bilangan bulat $x=x_0$ dan $y=y_0$, maka nilai $x_0+y_0$ adalah …
a.  1                d.  4
b.  2                e. 5
c.  3

Pembahasan:
$\left.\begin{matrix}x+2y=a \\2x-y=3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}\times 2 \\\times 1 \end{matrix}\right|\begin{matrix}2x+4y=2a \\\underline{2x-y=3}\end{matrix}$ $-$
                                        $5y=2a-3$
                                          $y=\frac{2a-3}{5}$
$\left.\begin{matrix}x+2y=a \\2x-y=3 \end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}\times 1 \\\times 2 \end{matrix}\right|\begin{matrix}x+2y=a \\\underline{4x-2y=6}\end{matrix}$ $+$
                                        $5x=a+6$
                                          $x=\frac{a+6}{5}$
$\left ( x=1 \right )\to \frac{a+6}{5}=1\to a=-1$ (TM)
$\left ( y=1 \right )\to \frac{2a-3}{5}=1\to a=4$ (M)
Maka $x_{0}=\frac{4+6}{5}=2$ dan $y_{0}=\frac{2.4-3}{5}=1$
Sehingga $x_{0}+y_{0}=2+1=3$  (C)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 7
Diketahui $A=\left\{ 9,7,6,5,4,3,2,1\right\}$. Lima anggota $A$ diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap adalah …
a.  $\frac{1}{2}$            d.   $\frac{1}{4}$
b.  $\frac{25}{56}$          e.   $\frac{5}{56}$
e.  $\frac{5}{12}$

Pembahasan:
$A=\left\{ 9,7,6,5,4,3,2,1\right\}\to$  diambil 5 anggota berjumlah genap
- genap + genap = genap
- ganjil + ganjil = genap
Kemungkinan:
- 3 genap + 2 ganjil $\to C_{3}^{3}\cdot C_{2}^{5}=1\cdot \frac{5.4.3!}{3!2!}=1.10=10$
- 1 genap + 4 ganjil $\to C_{1}^{3}\cdot C_{4}^{5}=\frac{3.2!}{2!1!}\cdot \frac{5.4!}{1!4!}=3.5=15$
$n(S)=C_{5}^{8}=\frac{8.7.6.5!}{3.2.1.5!}=56$
$P(\textrm {genap})=\frac{10+15}{56}=\frac{25}{56}$  (B)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 8
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika adalah 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah …
a.  8                     d.  30
b.  20                   e.  36
c.  24

Pembahasan:
$a, a+b,a+2b,a+3b \to$ barisan aritmatika
$a,a+2,a+4,a+6\to b=2$
$a,a+2,a+4+a,2(a+6)\to$ barisan geometri
$a,a+2,2a+4,2a+12$
rasio $\to \frac{a+2}{a}=\frac{2a+4}{a+2}$
                 $\frac{a+2}{a}=\frac{2{\color{Red} {(a+2)}}}{{\color{Red} {a+2}}}$
                    $2a=a+2$
                      $a=2$
Diperoleh jumlah barisan geometri  $2+4+8+16=30$  (D)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 9
Titik $(a,b)$ terletak pada grafik  $y=b$ $x^2+\left ( 1-b^2 \right )x-56$. Jika $a-b=7$, maka nilai $ab$ adalah …
a.  7                 d.  -1
b.  5                 e.  -5
c.  1

Pembahasan:
Substitusi $(a,b)$ ke persamaan grafik, menjadi
$b=b.a^2+(1-b^2 )a-56$
$b={\color{Red} {a^{2}b}}+a-{\color{Red} {ab^{2}}}-56$  
$0=a-b+ab(a-b)-56$ 
$0=7+ab(7)-56$ 
$7ab=49$  
  $ab=7$  (A)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 10
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar $x^2+2ax+b^2=0$. Jika $x_1^2+x_2^2=10$, maka nilai $b^2$ adalah …
a.  $4a^2+10$              d.  $2a^2-5$
b.  $4a^2-10$              e.  $-2a^2+5$ 
c.  $2a^2+5$

Pembahasan:
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2a}{1}=-2a$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{b^2}{1}=b^2$
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2 )^2-2x_1 x_2$
           $10=(-2a)^2-2.b^2$
           $10=4a^2-2b^2$
             $5=2a^2-b^2$ 
           $b^2=2a^2-5$  (D)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 11
Jika $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f∘g)(x)=\frac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1≤f(x)≤6$ adalah …
a.  {$x|-2≤x≤-1$  atau  $1≤x≤2$}
b.  {$x|-2≤x≤0$  atau  $x≥1$}
c.  {$x|-2≤x≤2$} 
d.  {$x|-1≤x≤2$}
e.  {$x|  0≤x≤2$}

Pembahasan:
Pertama,
$f\left ( g(x) \right )=\frac{2x-1}{x-1}$
$f\left ( \frac{1}{\sqrt{x-1}} \right )=\frac{2x-1}{x-1}$
Misal:  $\frac{1}{\sqrt{x-1}}=a$
                $\frac{1}{x-1}=a^2$
             $x-1=\frac{1}{a^2}$
                     $x=\frac {1}{a^2}+1$
Maka
$f(a)=\frac{2\left ( \frac{1}{a^2}+1 \right )-1}{\left ( \frac{1}{a^2}+1 \right )-1}=\frac{\frac{2}{a^2}+2-1}{\frac{1}{a^2}}$
           $=\frac{\frac{2}{a^2}+1}{\frac{1}{a^2}}=\frac{\frac{2+a^2}{a^2}}{\frac{1}{a^2}}$
           $=a^2+2$
$f(x)=x^2+2$
Kedua,
$1≤f(x)≤6$
$1≤x^2+2 ≤6$
$-1≤x^2≤4$ 
Karena nilai kuadrat tidak akan negatif, jadi daerah yang mungkin $x^2≤4$
Dapat ditulis menjadi,
$x^2-4≤0$
$(x+2)(x-2)≤0$
$x_1=-2$    v    $x_2=2$

Maka HP = {$x|-2≤x≤2$}  (C)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 12
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f(g(x))=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1} (3).g^{-1} (3)$ adalah …
a. 14 d.   -9
b. 9 e.   -14
c. 0

Pembahasan:
Pertama mencari $g(x)$,
$g(x+1)=x-3$
Misal:  $y=x+1$
     $x=y-1$
Maka  $g(y)=(y-1)-3$ 
          $=y-4$
      $g(x)=x-4$
       $g^{-1} (x)=x+4$
       $g^{-1} (3)=3+4=7$
Kedua mencari $f(x)$,
$f(g(x))=2x-1$
$f(x-4)=2x-1$
Misal:  $a=x-4$
     $x=a+4$
Maka  $f(a)=2(a+4)-1$
              $=2a+8-1$
   $f(x)=2x+7$ 
Selanjutnya mencari $f^{-1}(x)$,
Misal:  $y=2x+7$
     $x=\frac{y-7}{2}$
    $f^{-1} (x)=\frac{x-7}{2}$
    $f^{-1} (3)=\frac{3-7}{2}=-2$
Sehingga diperoleh  $f^{-1} (3).g^{-1} (3)=(-2).7=-14$  (E)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 13
$\int\left ( 2x-\frac{1}{2x} \right ) ^2dx=$ ...
a.  $\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{2x}-2x+C$
b.  $\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2x}-2x+C$
c.  $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{2x}+2x+C$
d.  $\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{4x}-2x+C$
e.  $\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4x}-2x+C$

Pembahasan:
$\int\left ( 2x-\frac{1}{2x} \right ) ^2dx=\int\left ( 4x^2-2+\frac{1}{4x^2} \right ) dx$
                                  $=\frac{4}{3}x^3-2x-\frac{1}{4x}+C$  (D)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 14
Diketahui $f(x)=ax^2+2x+4$ dan $g(x)=x^2+ax-2$. Jika $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h' (0)=1$, maka nilai $a$ adalah …
a.  $2$                    d.  $-\frac{1}{2}$
b.  $\frac{1}{2}$                   e.  $-2$
c.  $0$

Pembahasan:
Ingat!  Jika $f(x)=\frac{u}{v}$ maka $f' (x)=\frac{u' v-uv'}{v^2}$  
$u=f(x)=ax^2+2x+4$      →      $u'=2ax+2$ 
$v=g(x)=x^2+ax-2$         →      $v'=2x+a$
$h' (x)=\frac{(2ax+2)(x^2+ax-2)-(ax^2+2x+4)(2x+a)}{(x^2+ax-2)^2}$    
$h' (0)=1=\frac{2.(-2)-4.a}{(-2)^2 }$ 
                 $1=\frac{-4-4a}{4}$ 
                 $4=-4-4a$ 
                 $8=-4a$
                 $a=-2$   (E)

Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 526 Nomor 15
Diketahui $O(0,0),A(1,0),B(2,0),C(2,y),$ dan $D(0,y)$. Nilai $\displaystyle  \lim_{y \to 1} \frac{\textrm{keliling}ABCD}{\textrm{keliling}ACD}$ adalah ...
a.  $\frac{1}{2}\left ( 2\sqrt 3+3 \right )$
b.  $\frac{1}{4}\left ( 3\sqrt 2+2 \right )$
c.  $\frac{1}{2}\left ( \sqrt 3+1 \right )$
d.  $\frac{1}{2}\left ( 3\sqrt 2-2 \right )$
e.  $\frac{1}{4}\left ( 3\sqrt 2-2 \right )$

Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut,

${\color{Red} {AD}}=\sqrt{y^2+1^2}$
         $=\sqrt{y^2+1}={\color{Red} {AC}}$
$\displaystyle  \lim_{y \to 1} \frac{\textrm{keliling}ABCD}{\textrm{keliling}ACD}$
        $=\displaystyle  \lim_{y \to 1} \frac{AB+BC+CD+AD}{AC+CD+AD}$
        $=\displaystyle \lim_{ y\to 1}\frac{1+y+2+\sqrt{y^2+1}}{2\sqrt{y^2+1}+2}$
        $=\displaystyle \lim_{ y\to 1}\frac{y+3+\sqrt{y^2+1}}{2\sqrt{y^2+1}+2}$
        $=\frac{1+3+\sqrt{1^2+1}}{2\sqrt{1^2+1}+2}$
        $=\frac{4+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+2}\times \frac{2\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}-2}$
        $=\frac{-4+6\sqrt{2}}{4}=\frac{-2+3\sqrt{2}}{2}$
        $=\frac{1}{2}(3\sqrt 2-2)$  (D)

Sekian dan semoga bermanfaat:)

&&&