Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika Matematika SMA Kelas XI

-

Assalamu'alaikum wr. wb.

Pada artikel ini saya akan share soal dan pembahasan materi barisan dan deret aritmetika matematika kelas xi. Silahkan disimak baik-baik dan apabila ada kesalahan silahkan tulis di kolom komentar ya:)

^^

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Perhatikan contoh barisan aritmetika berikut.

\(U_1\)         \(U_2\)         \(U_3\)         \(U_4\)
\(10,\)        \(12,\)        \(14,\)        \(16\)

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:

\(U_n=a+(n-1)b\)

dengan:
\(b=U_2-U_1=U_3-U_2=...=U_n-U_{n-1}\)     (beda BA)
\(a=U_1\)    (suku pertama BA)
\(n\)     (banyak suku BA)

2. Deret Aritmetika

Jika suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan maka akan diperoleh deret aritmetika. Deret aritmetika disebut juga deret hitung. Contoh deret aritmetika sebagai berikut.

\(10 +12+14+16+...\)

Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:

\(S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)\)

\(S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)b]\)

Suku ke-n barisan aritmetika juga dapat ditentukan menggunakan rumus:

\(U_n=S_n-S_{(n-1)}\)


Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika

== A. Pilihan Ganda ==

Nomor 1
Suku ke-30 dari barisan 8, 19, 30, 41, ... adalah ...
a.  338         b.  330        c.  327         d.  319        e.  298

Pembahasan:
\(a=8\)     ;    \(b=19-8=11\)
\(U_{30}=a+29b\)
        \(=8+29(11)\)
        \(=8+319\)
        \(=327\)    (C)

Nomor 2
Rumus suku ke-n dari barisan \(2,3\frac{1}{2},5,6\frac{1}{2},8,...\) adalah ...
a.  \(U_n=\frac{1}{2}(3n+1)\)
b.  \(U_n=\frac{1}{2}(3n-1)\)
c.  \(U_n=\frac{1}{2}(n+3)\)
d.  \(U_n=\frac{1}{2}(n-3)\)
e.  \(U_n=\frac{1}{2}(1-3n)\)

Pembahasan:
\(a=2\)    ;     \(b=3\frac{1}{2}-2=\frac{3}{2}\)
\(U_n=a+(n-1)\) \(b\)
       \(=2+(n-1)\frac{3}{2}\)
       \(=2+\frac{3}{2}n-\frac{3}{2}\)
       \(=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}n\)
\(U_n=\frac{1}{2}(3n+1)\)     (A)

Nomor 3
Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57. Suku ke-15 barisan tersebut adalah ...
a.  62        b.  68        c.  72        d.  74        e.  76    

Pembahasan:
Pertama, mencari \(a\) dan \(b\)
\(U_{12}=a+11b=57\)
 \(\underline{U_5=a+4b=22}\) _
                      \(7b=35\)
                        \(b=5\)
    \(a+4(5)=22\)
     \(a+20=22\)
                \(a=2\)
Kedua, mencari \(U_{15}\)
\(U_{15}=a+14b\)
        \(=2+14(5)\)
        \(=2+70\)
        \(=72\)    (C)

Nomor 4
Hasil dari 7 + 11 + 15 + ... + 67 adalah ...
a.  555        b.  592        c.  616        d.  629        e.  666

Pembahasan:
\(a=7\)  ;  \(b=4\)  ;  \(U_n=67\)
Pertama, mencari \(n\)
\(U_n=a+(n-1)b\)
\(67=7+4n-4\)
\(64=4n\)
 \(n=16\)
Kedua, mencari \(S_{16}\)
\(S_{16}=\frac{16}{2}(a+U_n)\)
        \(=8(7+67)\)
        \(=8(74)=592\)    (B)

Nomor 5
Jumlah bilangan asli yang habis dibagi 4, tetapi tidak habis dibagi 5 dan terletak di antara 1 sampai 400 adalah ...
a.  3.800        b.  12.000        c.  15.800        d.  16.000         e.  19.800

Pembahasan:
Bilangan yang habis dibagi \(4\) adalah \(4,8,12,...,396\)
  \(U_n=a+(n-1)b\)
\(396=4+(n-1)4\)
\(396=4n\)
    \(n=99\)
\(S_{99}=\frac{99}{2}(4+396)\)
        \(=\frac{99}{2}(400)\)
        \(=19800\)
Bilangan yang habis dibagi \(4\) dan \(5\) adalah \(20,40,...,380\)
  \(U_n=a+(n-1)b\)
\(380=20+(n-1)20\)
\(380=20n\)
    \(n=19\)
\(S_{19}=\frac{19}{2}(20+380)\)
        \(=\frac{19}{2}(400)\)
        \(=3800\)
Sehingga jumlah bilangan yang habis dibagi \(4\) tapi tidak habis dibagi \(5\) adalah \(19800-3800=16000\)     (D)

Nomor 6
Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Beda barisan aritmetika tersebut adalah ...
a.  5         b.  4        c.  2        d.  1         e.  -2

Pembahasan:
Jika di antara bilangan \(p\) dan \(q\) disisipkan \(n\) bilangan dan membentuk suatu barisan/deret aritmetika, maka beda barisan/deret aritmetika tersebut adalah:
\(b=\frac{q-p}{n+1}\)
    \(=\frac{28-4}{5+1}\)
    \(=\frac{24}{6}\)
    \(=4\)    (B)

Nomor 7
Nilai suku ke-6 suatu barisan aritmetika adalah 72. Nilai \(U_5+U_6+U_7\) adalah ...
a.  144        b.  196        c.  216        d.  288         e.  360

Pembahasan:
Soal tersebut dapat diselesaikan menggunakan rumus mencari suku tengah BA, yaitu:
\(2U_6=U_5+U_7\)
Maka diperoleh:
\(U_5+U_6+U_7=3U_6\)
                              \(=3(72)\)
                              \(=216\)    (C)

Nomor 8
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui keliling segitiga 126 cm dan panjang sisi terpendeknya 36 cm, panjang kedua sisi lainnya adalah ... cm.
a.  37 dan 53
b.  38 dan 52
c.  40 dan 50
d.  42 dan 48
e.  44 dan 46

Pembahasan:
Misal: \(a,b,c\to\) BA
  \(a+b+c=126\)
\(36+b+c=126\)
           \(b+c=90\)
                   \(c=90-b\)
Gunakan rumus suku tengah BA, maka:
\(2b=a+c\)
\(2b=36+(90-b)\)
\(3b=126\)
  \(b=42\)
  \(c=90-42=48\)     (D)

Nomor 9
Pak Badu hendak membagikan uang sebesar Rp100.000 kepada 5 anaknya. Anak pertama menerima Rp5.000 lebih besar dari anak kedua. Anak kedua menerima Rp5.000 lebih besar dari anak ketiga, dan demikian seterusnya. Besar uang yang diterima oleh anak pertama adalah ...
a.  10.000        b.  15.000        c.  20.000        d.  25.000         e.  30.000

Pembahasan:
\(S_5=100000\)   ;    \(b=5000\)
\(S_5=\frac{5}{2}[2a+4b]\)
\(100000=\frac{5}{2}[2a+4(5000)]\)
\(100000=5[a+10000]\)
\(100000=5a+50000\)
   \(50000=5a\)
             \(a=10000\) 
Jadi, anak pertama menerima Rp10.000    (A)

Nomor 10
Dalam kotak tersedia 10 bendera. Bendera-bendera tersebut harus dipindahkan ke dalam botol yang tersedia satu demi satu (tidak sekaligus) secara urut dari botol nomor 1. Semua peserta lomba mulai bergerak (start) dari botol nomor 10 untuk mengambil bendera dalam kotak. Jarak tempuh yang dilalui peserta lomba adalah ... meter.
a.  164         b.  880        c.  920        d.  1.000        e.  1.840

Pembahasan:
\(U_1=\textrm{Jarak B1}=10\)
\(U_2=\textrm{Jarak B2}=10+8\)
\(U_3=\textrm{Jarak B3}=10+8\times 2\)
\(a=10\)    ;    \(b=8\)
\(U_{10}=10+9(8)\)
         \(=10+72\)
         \(=82\)
\(S_{10}=\frac{10}{2}[2a+9b]\)
        \(=\frac{10}{2}[2(10)+9(8)]\)
        \(=10(46)\)
        \(=460\)
Maka jarak tempuh (bolak-balik) adalah \(2\times 460=920\)    (C)

== B. Isian ==

Nomor 1
Suku ke-50 dari barisan aritmetika 24, 17, 10, 3, ... adalah ...

Pembahasan:
\(a=24\)   ;    \(b=-7\)
\(U_{50}=a+49b\)
        \(=24+49(-7)\)
        \(=24-343\)
        \(=-319\)

Nomor 2
Diketahui tiga buah bilangan yang berurutan yaitu (k + 5), (3k - 1), dan (4k - 1). Nilai k yang memenuhi agar bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika adalah ...

Pembahasan:
Dengan menggunakan rumus suku tengah, maka:
            \(2U_2=U_1+U_3\)
\(2(3k-1)=(k+5)+(4k-1)\)
      \(6k-2=5k+4\)
                 \(k=6\)

Nomor 3
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan dengan \(S_n=n^2+3n\). Suku ke-20 deret tersebut adalah ...

Pembahasan:
\(S_{20}=20^2+3(20)\)
        \(=400+60\)
        \(=460\)

Nomor 4
Suatu barisan aritmetika memiliki \(U_3=-6,U_{10}=8,\) dan \(U_n=38\). Jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah ...

Pembahasan:
Pertama, mencari \(a,b\) dan \(n\)
\(U_{10}=a+9b=8\)
  \(U_3=\underline{a+2b=-6}\) _
                      \(7b=14\)
                         \(b=2\)
      \(a+2(2)=-6\)
                     \(a=-10\)
\(U_n=a+(n-1)b\)
 \(38=-10+2n-2\)
 \(50=2n\)
   \(n=25\)
Kedua, mencari \(S_n\)
\(S_{25}=\frac{25}{2}(-10+38)\)
        \(=25(14)\)
        \(=350\)

Nomor 5
Tempat duduk di dalam gedung pertunjukkan diatur sedemikian hingga baris paling depan terdapat 20 kursi. Baris paling belakangnya terdapat 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Jika dalam gedung tersebut terdapat 12 baris kursi, kapasitas gedung pertunjukkan adalah ...

Pembahasan:
\(a=20\)   ;   \(b=4\)
\(S_{12}=\frac{12}{2}[2a+11b]\)
        \(=\frac{12}{2}[2(20)+11(4)]\)
        \(=12(42)\)
        \(=504\)


Sekian, semoga bermanfaat;)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PDB : Persamaan Diferensial Variabel Terpisah (Separable Equations)

-
Assalamu'alaikum semua :) Persamaan diferensial variabel terpisah (separable equations) adalah salah satu materi penting dalam mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Materi ini terbilang mudah karena penyelesaiannya masih cukup sederhana.  Pengantar PDB Orde Satu Persamaan Diferensial (PD) orde satu secara umum ditulis :      \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\)      ... (1) dimana \(f\) adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Persamaan (1) ditulis dalam PD baku :       \(M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0\)      ... (2) Persamaan Variabel Terpisah (Separable) Persamaan diferensial terpisah adalah PDB orde satu yang secara aljabar dapat direduksi ke dalam bentuk baku dengan tiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel. Jika masing-masing suku tak nolnya dalam bentuk baku memuat satu variabel, dalam hal ini \(M\) hanya fungsi dari \(x\) dan \(N\) hanya fungsi dari \(y\), maka :      \(M(x)dx+N(y)dy = 0\)      ... (3) disebut PD dengan variabel terpisah. Dengan melakukan pengintegrala
Baca selengkapnya

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN AKM NUMERASI SMP/MTs KELAS 8 2021

-
Assalamu'alaikum :)) Hayoo siapa yang sebentar lagi mau ujian AKM??  Tapi... AKM itu apa sih sebenarnya? Singkatnya,  AKM (Asesmen Kompetensi Minimum) adalah penilaian kompetensi mendasar  yang diperlukan oleh peserta didik untuk mampu mengembangkan kapasitas diri dan berpartisipasi positif pada masyarakat. Kompetensi mendasar yang diujikan dalam AKM adalah  Literasi Membaca  dan  Numerasi  (Pusmenjar, 2020).  Nah, pada kesempatan kali ini akan khusus membahas soal-soal AKM Kompetensi Numerasi Tingkat SMP/MTs dan sederajat. AKM ini tampilannya berbeda dengan UN (Ujian Nasional) karena lebih bertujuan untuk menguji kemampuan proses berpikir yang meliputi pemahaman, penerapan, dan penalaran. Jadi, nanti akan ada banyak teks yang butuh ketelitian dan kesabaran untuk memahami masalahnya.  Soal AKM ada 5 tipe, yaitu PGK (pilihan ganda kompleks), PG (pilihan ganda), M (menjodohkan), E (esai), I (isian). Perbedaan PGK dan PG adalah : kalau PGK itu jawabannya lebih dari satu, sedangkan PG
Baca selengkapnya

Grade 8 Sequences, Expressions and Formulae Mathematics Cambridge [PDF]

-
Gambar
Materi Pola Bilangan dan Barisan Matematika Kelas 8 Kurikulum Cambridge Bismillahirrahmanirrahim. This is a mathematics module year 8 based on Cambridge Curriculum. The material is taken from Cambridge Checkpoint Mathematics 8. Unit 02 : Sequences, expressions and formulae 2.1 Generating sequences 2.2 Finding roles for sequences 2.3 Using the  n th term 2.4 Using functions and mappings 2.5 Constructing linear expressions 2.6 Deriving and using formulae NOTE  :  To download this file, you can click a square on the top right corner to get the link.  Please report if you find a broken link. May be useful.  Do not repost this module on other sites.
Baca selengkapnya