PDB : Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde-n Metode Koefisien Tak Tentu
Assalamu'alaikum semua :)
Materi ini adalah lanjutan dari materi PD linear non homogen orde dua, hanya saja kali ini berorde lebih dari dua atau orde-n (higher order). Secara teknis, penyelesaiannya juga persis seperti orde dua.
Pastikan kita sudah memahami materi PD linear homogen agar bisa mencari solusi umum PD linear non homogen.
Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde Tinggi
Solusi umum PD linear non homogen orde-n dapat dinyatakan :
\(y=y_{h}+y_{p}\) ... (1)
dengan
\(y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+ ...+c_{n}y_{n}\) ... (2)
sebagai solusi homogen persamaan (1) sedangkan \(y_{p}\) sebagai solusi khusus atau solusi partikular yang berkaitan dengan \(r(x)\).
Metode Koefisien Tak Tentu
PD linear non homogen orde-n memiliki bentuk umum :
\(a_{0}y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+...+a_{(n-1)}y'+a_{n}y=r(x)\) ... (3)
Kunci metode ini adalah \(y_{p}\) suatu ekspresi yang mirip dengan \(r(x)\) yang terdapat koefisien-koefisien yang tidak diketahui yang dapat ditentukan dengan mensubstitusi \(y_{p}\) pada persamaan.
Tabel pilihan \(r(x)\) dengan \(y_{p}\) yang diberikan.
| \(r(x)\) | \(y_{p}\) |
|---|---|
| \(x^{n}\) | \(A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+...+A_{1}x+A_{0}\) |
| \(e^{ax}\) | \(A\) \(e^{ax}\) |
| \(\cos bx\) | \(A \cos bx+B \sin bx\) |
| \(\sin bx\) | \(A \cos bx+B \sin bx\) |
| \(x\) \(e^{ax}\) | \(A\) \(e^{ax}+x\) \(B\) \(e^{ax}\) |
| \(e^{ax}\cos bx\) | \((A \cos bx+B \sin bx)e^{ax}\) |
| \(e^{ax}\sin bx\) | \((A \cos bx+B \sin bx)e^{ax}\) |
| \(x \cos bx\) | \((A_{1} \cos bx+B_{1} \sin bx)+(A_{2}x \cos bx +B_{2}x\sin bx)\) |
| \(x \sin bx\) | \((A_{1} \cos bx+B_{1} \sin bx)+(A_{2}x \cos bx +B_{2}x\sin bx)\) |
Metode koefisien tak tentu digunakan untuk penyelesaian khusus PD linear non homogen koefisien konstan.
Metode ini hanya dapat digunakan jika fungsi \(r(x)\) di kolom kanan berupa polinomial, fungsi trigonometri, fungsi eksponen atau penjumlahan/perkalian dari beberapa fungsi.
Perhatikan, misal diberikan suatu PD \(y'''+y=\tan x\). PD tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu karena \(\tan x\) bukan termasuk fungsi dalam tabel sehingga akan diselesaikan dengan cara lain (variasi parameter).
Aturan-Aturan Metode Koefisien Tak Tentu
Pada metode ini, terdapat 3 aturan (3 kasus) berbeda untuk menyelesaikan PD linear non homogen orde-n, yaitu :
Kasus 1 (aturan dasar) : Jika \(r(x)\) bukan solusi homogen, maka selesaikan \(y_{p}\) dengan memilih fungsi yang bersesuaian pada tabel yang disediakan.
Kasus 2 (aturan modifikasi) : Jika \(r(x)\) merupakan solusi homogen (memiliki basis yang sama dengan solusi homogen), maka kalikan \(y_{p}\) sesuai fungsi yang bersesuaian dengan tabel dengan \(x\) (atau \(x^{2}\) untuk akar kembar dua dan \(x^{3}\) untuk akar kembar tiga, dst.)
Kasus 3 (aturan penjumlahan) : Jika \(r(x)\) merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi, maka selesaikan dengan memilih \(y_{p}\) yang merupakan penjumlahan juga.
Mencari Solusi Umum Persamaan Diferensial Non Homogen Orde-n dengan Metode Koefisien Tak Tentu
Contoh soal 1 (Kasus 2)
Carilah solusi umum PD : \(y'''-2y''-5y'+6y=12e^{2x}-8e^{x}\)
Pembahasan :
Langkah 1 : Mencari solusi homogen
\(\lambda ^{3}-2\lambda ^{2}-5\lambda +6=0\)
\((\lambda -1)(\lambda -3)(\lambda +2)=0\)
\(\lambda _{1}=1\) ; \(\lambda _{2}=3\) ; \(\lambda _{3}=-2 \)
\(y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-2x}\)
Langkah 2 : Mencari solusi partikular
\(r(x)=12e^{2x}-8e^{x}=y_{h}\)
*kalikan \(x\) pada basis \(e^{x}\)
sehingga
\(y_{p}=Ae^{2x}+Be^{x}\cdot x\)
cari \(y_{p}'\), \(y_{p}''\), \(y_{p}'''\)
\(y_{p}'=2Ae^{2x}+(B+Bx)e^{x}\)
\(y_{p}''=4Ae^{2x}+(2B+Bx)e^{x}\)
\(y_{p}'''=8Ae^{2x}+(3B+Bx)e^{x}\)
substitusi ke PD awal diperoleh :
\(-4Ae^{2x}-6Be^{x}=12e^{2x}-8e^{x}\)
didapat
\(A=-3 \) ; \(B=\frac {4}{3}\)
maka
\(y_{p}=-3e^{2x}+\frac{4}{3}xe^{x}\)
Sehingga solusi umum PD :
\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+C_{3}e^{-2x}-3e^{2x}+\frac{4}{3}xe^{x}\)
________________________________
Sekian, semoga bermanfaat.
Terkait : PD Linear Non Homogen Orde Dua
Komentar
Posting Komentar