PDB : Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde-n Metode Variasi Parameter

-

Assalamu'alaikum semua :)

Materi ini tidak jauh berbeda dengan materi PD linear non homogen orde dua metode variasi parameter yang sebelumnya sudah dibahas, hanya berbeda di orde nya saja. Teknik penyelesaiannya juga serupa. 

Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde Tinggi

Solusi umum PD linear non homogen orde-n dapat dinyatakan :

    \(y=y_{h}+y_{p}\)     ... (1)

dengan 

    \(y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+ ...+c_{n}y_{n}\)    ... (2)

sebagai solusi homogen persamaan (1) sedangkan \(y_{p}\) sebagai solusi khusus atau solusi partikular yang berkaitan dengan \(r(x)\).

Metode Variasi Parameter

Prinsip metode ini adalah mengubah variabel konstanta \(c_{k}\) dengan variasi parameter \(v_{k}\) sehingga solusi partikular PD linear non homogen menjadi :

    \(y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+...+v_{n}y_{n}\)    ... (3)

dimana \(y_{1},y_{2},...,y_{n}\) merupakan basis-basis penyelesaian persamaan homogen dan \(v_{1},v_{2},...,v_{n}\) adalah fungsi-fungsi dari \(x\) yang diperoleh dari :

    \(\begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & \cdots  & y_{n}\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' & \cdots  & y_{n}'\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' & \cdots  & y_{n}''\\ \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & y_{3}^{(n-1)} & \cdots  & y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1}'\\ v_{2}'\\ v_{3}'\\ \vdots \\ v_{n}' \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \vdots \\ \frac{r(x)}{a_{n}(x)} \end{bmatrix}\)

dengan menggunakan SPL metode Creamer dihasilkan :

    \(v_{1}'=\frac{W_{1}}{W}\)  maka  \(v_{1}=\int\frac{W_{1}}{W}\)

    \(v_{2}'=\frac{W_{2}}{W}\)  maka  \(v_{2}=\int\frac{W_{2}}{W}\)

    ...

    \(v_{n}'=\frac{W_{n}}{W}\)  maka  \(v_{n}=\int\frac{W_{n}}{W}\)   

     * dimana \(W\) merupakan determinan matriks orde-n pada persamaan yang disebut Wornskian dan \(W_{i}\) (dengan \(i=1,2,...,n\)) diperoleh dari \(W\) dengan mengganti kolom ke-\(i\) dengan koefisien pada ruas paling kanan.

Misal dicari solusi PD linear non homogen orde tiga dengan variasi parameter, maka diketahui :

    \(W=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}'\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}''\end{vmatrix}\)  ;  \(W_{1}=\begin{vmatrix}0 & y_{2} & y_{3}\\ 0 & y_{2}' & y_{3}'\\ \frac{r(x)}{a_{n}(x)} & y_{2}'' & y_{3}''\end{vmatrix}\) 

    \(W_{2}=\begin{vmatrix}y_{1} & 0 & y_{3}\\ y_{1}' & 0 & y_{3}'\\ y_{1}'' & \frac{r(x)}{a_{n}(x)} & y_{3}''\end{vmatrix}\)  ;  \(W_{3}=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2} & 0\\ y_{1}' & y_{2}' & 0\\ y_{1}'' & y_{2}'' & \frac{r(x)}{a_{n}(x)}\end{vmatrix}\)

dengan demikian solusi PD linear non homogen dapat diselesaikan.

Mencari Solusi Umum PD Linear Non Homogen Orde-n Menggunakan Metode Variasi Parameter

Contoh soal 1 

Carilah solusi umum PD : \(y'''-y'=x\)

Pembahasan :

Langkah 1 : Mencari solusi homogen

    \(\lambda ^{3}-\lambda =0\)

    \(\lambda (\lambda ^{2}-1) =0\)

    \(\lambda _{1}=0\)  ;  \(\lambda _{2}=1\)  ;  \(\lambda _{3}=-1\)

    \(y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}\)

Langkah 2 : Mencari solusi partikular

    \(y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3}\)

            \(=v_{1}+v_{2}e^{x}+v_{3}e^{-x}\)

    fungsi \(v_{1},v_{2},\) dan \(v_{3}\) diperoleh dari

    \(\begin{bmatrix}1 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ 0 & e^{x} & e^{-x}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1}'\\ v_{2}'\\ v_{3}'\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ x \end{bmatrix}\) 

    dengan metode Creamer maka (perhitungan determinan menggunakan teknik Sarrus)

    \(W=\begin{vmatrix}1 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ 0 & e^{x} & e^{-x}\end{vmatrix}=2\)  ;  \(W_{1}=\begin{vmatrix}0 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ x & e^{x} & e^{-x}\end{vmatrix}=-2x\)

    \(W_{2}=\begin{vmatrix}1 & 0 & e^{-x}\\ 0 & 0 & -e^{-x}\\ 0 & x & e^{-x}\end{vmatrix}=xe^{-x}\)  ;  \(W_{3}=\begin{vmatrix}1 & e^{x} & 0\\ 0 & e^{x} & 0\\ 0 & e^{x} & x\end{vmatrix}=xe^{x}\)

    jadi,

        \(v_{1}=\int \frac{W_{1}}{W}=\int \frac{-2x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}\)

        \(v_{2}=\int \frac{W_{2}}{W}=\int \frac{xe^{-x}}{2}=-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x}\)

        \(v_{3}=\int \frac{W_{3}}{W}=\int \frac{xe^{x}}{2}=\frac{1}{2}xe^{x}-\frac{1}{2}e^{x}\)

    sehingga 

    \(y_{p}=-\frac{1}{2}x^{2}(1)+\left ( -\frac{1}{2} xe^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x}\right )e^{x}+\left ( \frac{1}{2} xe^{x}-\frac{1}{2}e^{x}\right )e^{-x}\)

            \(=-\frac{1}{2}x^{2}-1\)

Langkah 3 : Menyusun solusi umum PD 

    \(y=y_{h}+y_{p}\)

       \(=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}-\frac{1}{2}x^{2}-1\) 


________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Terkait : PD Linear Non Homogen Orde Dua Variasi Parameter


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PDB : Persamaan Diferensial Variabel Terpisah (Separable Equations)

-
Assalamu'alaikum semua :) Persamaan diferensial variabel terpisah (separable equations) adalah salah satu materi penting dalam mata kuliah Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Materi ini terbilang mudah karena penyelesaiannya masih cukup sederhana.  Pengantar PDB Orde Satu Persamaan Diferensial (PD) orde satu secara umum ditulis :      \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\)      ... (1) dimana \(f\) adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Persamaan (1) ditulis dalam PD baku :       \(M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0\)      ... (2) Persamaan Variabel Terpisah (Separable) Persamaan diferensial terpisah adalah PDB orde satu yang secara aljabar dapat direduksi ke dalam bentuk baku dengan tiap suku tak nol memuat secara tepat satu variabel. Jika masing-masing suku tak nolnya dalam bentuk baku memuat satu variabel, dalam hal ini \(M\) hanya fungsi dari \(x\) dan \(N\) hanya fungsi dari \(y\), maka :      \(M(x)dx+N(y)dy = 0\)      ... (3) disebut PD dengan variabel terpisah. Dengan melakukan pengintegrala
Baca selengkapnya

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN AKM NUMERASI SMP/MTs KELAS 8 2021

-
Assalamu'alaikum :)) Hayoo siapa yang sebentar lagi mau ujian AKM??  Tapi... AKM itu apa sih sebenarnya? Singkatnya,  AKM (Asesmen Kompetensi Minimum) adalah penilaian kompetensi mendasar  yang diperlukan oleh peserta didik untuk mampu mengembangkan kapasitas diri dan berpartisipasi positif pada masyarakat. Kompetensi mendasar yang diujikan dalam AKM adalah  Literasi Membaca  dan  Numerasi  (Pusmenjar, 2020).  Nah, pada kesempatan kali ini akan khusus membahas soal-soal AKM Kompetensi Numerasi Tingkat SMP/MTs dan sederajat. AKM ini tampilannya berbeda dengan UN (Ujian Nasional) karena lebih bertujuan untuk menguji kemampuan proses berpikir yang meliputi pemahaman, penerapan, dan penalaran. Jadi, nanti akan ada banyak teks yang butuh ketelitian dan kesabaran untuk memahami masalahnya.  Soal AKM ada 5 tipe, yaitu PGK (pilihan ganda kompleks), PG (pilihan ganda), M (menjodohkan), E (esai), I (isian). Perbedaan PGK dan PG adalah : kalau PGK itu jawabannya lebih dari satu, sedangkan PG
Baca selengkapnya

Grade 8 Sequences, Expressions and Formulae Mathematics Cambridge [PDF]

-
Gambar
Materi Pola Bilangan dan Barisan Matematika Kelas 8 Kurikulum Cambridge Bismillahirrahmanirrahim. This is a mathematics module year 8 based on Cambridge Curriculum. The material is taken from Cambridge Checkpoint Mathematics 8. Unit 02 : Sequences, expressions and formulae 2.1 Generating sequences 2.2 Finding roles for sequences 2.3 Using the  n th term 2.4 Using functions and mappings 2.5 Constructing linear expressions 2.6 Deriving and using formulae NOTE  :  To download this file, you can click a square on the top right corner to get the link.  Please report if you find a broken link. May be useful.  Do not repost this module on other sites.
Baca selengkapnya