PDB : Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde-n Metode Variasi Parameter

Assalamu'alaikum semua :)

Materi ini tidak jauh berbeda dengan materi PD linear non homogen orde dua metode variasi parameter yang sebelumnya sudah dibahas, hanya berbeda di orde nya saja. Teknik penyelesaiannya juga serupa. 

Persamaan Diferensial Linear Non Homogen Orde Tinggi

Solusi umum PD linear non homogen orde-n dapat dinyatakan :

    $y=y_{h}+y_{p}$     ... (1)

dengan 

    $y_{h}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+ ...+c_{n}y_{n}$    ... (2)

sebagai solusi homogen persamaan (1) sedangkan $y_{p}$ sebagai solusi khusus atau solusi partikular yang berkaitan dengan $r(x)$.

Metode Variasi Parameter

Prinsip metode ini adalah mengubah variabel konstanta $c_{k}$ dengan variasi parameter $v_{k}$ sehingga solusi partikular PD linear non homogen menjadi :

    $y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+...+v_{n}y_{n}$    ... (3)

dimana $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ merupakan basis-basis penyelesaian persamaan homogen dan $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ adalah fungsi-fungsi dari $x$ yang diperoleh dari :

    $\begin{bmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & \cdots  & y_{n}\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' & \cdots  & y_{n}'\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' & \cdots  & y_{n}''\\ \vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots  & \vdots \\ y_{1}^{(n-1)} & y_{2}^{(n-1)} & y_{3}^{(n-1)} & \cdots  & y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1}'\\ v_{2}'\\ v_{3}'\\ \vdots \\ v_{n}' \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \vdots \\ \frac{r(x)}{a_{n}(x)} \end{bmatrix}$

dengan menggunakan SPL metode Creamer dihasilkan :

    $v_{1}'=\frac{W_{1}}{W}$  maka  $v_{1}=\int\frac{W_{1}}{W}$

    $v_{2}'=\frac{W_{2}}{W}$  maka  $v_{2}=\int\frac{W_{2}}{W}$

    ...

    $v_{n}'=\frac{W_{n}}{W}$  maka  $v_{n}=\int\frac{W_{n}}{W}$   

     * dimana $W$ merupakan determinan matriks orde-n pada persamaan yang disebut Wornskian dan $W_{i}$ (dengan $i=1,2,...,n$) diperoleh dari $W$ dengan mengganti kolom ke-$i$ dengan koefisien pada ruas paling kanan.

Misal dicari solusi PD linear non homogen orde tiga dengan variasi parameter, maka diketahui :

    $W=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}'\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}''\end{vmatrix}$  ;  $W_{1}=\begin{vmatrix}0 & y_{2} & y_{3}\\ 0 & y_{2}' & y_{3}'\\ \frac{r(x)}{a_{n}(x)} & y_{2}'' & y_{3}''\end{vmatrix}$ 

    $W_{2}=\begin{vmatrix}y_{1} & 0 & y_{3}\\ y_{1}' & 0 & y_{3}'\\ y_{1}'' & \frac{r(x)}{a_{n}(x)} & y_{3}''\end{vmatrix}$  ;  $W_{3}=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2} & 0\\ y_{1}' & y_{2}' & 0\\ y_{1}'' & y_{2}'' & \frac{r(x)}{a_{n}(x)}\end{vmatrix}$

dengan demikian solusi PD linear non homogen dapat diselesaikan.

Mencari Solusi Umum PD Linear Non Homogen Orde-n Menggunakan Metode Variasi Parameter

Contoh soal 1 

Carilah solusi umum PD : $y'''-y'=x$

Pembahasan :

Langkah 1 : Mencari solusi homogen

    $\lambda ^{3}-\lambda =0$

    $\lambda (\lambda ^{2}-1) =0$

    $\lambda _{1}=0$  ;  $\lambda _{2}=1$  ;  $\lambda _{3}=-1$

    $y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}$

Langkah 2 : Mencari solusi partikular

    $y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3}$

            $=v_{1}+v_{2}e^{x}+v_{3}e^{-x}$

    fungsi $v_{1},v_{2},$ dan $v_{3}$ diperoleh dari

    $\begin{bmatrix}1 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ 0 & e^{x} & e^{-x}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1}'\\ v_{2}'\\ v_{3}'\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ x \end{bmatrix}$ 

    dengan metode Creamer maka (perhitungan determinan menggunakan teknik Sarrus)

    $W=\begin{vmatrix}1 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ 0 & e^{x} & e^{-x}\end{vmatrix}=2$  ;  $W_{1}=\begin{vmatrix}0 & e^{x} & e^{-x}\\ 0 & e^{x} & -e^{-x}\\ x & e^{x} & e^{-x}\end{vmatrix}=-2x$

    $W_{2}=\begin{vmatrix}1 & 0 & e^{-x}\\ 0 & 0 & -e^{-x}\\ 0 & x & e^{-x}\end{vmatrix}=xe^{-x}$  ;  $W_{3}=\begin{vmatrix}1 & e^{x} & 0\\ 0 & e^{x} & 0\\ 0 & e^{x} & x\end{vmatrix}=xe^{x}$

    jadi,

        $v_{1}=\int \frac{W_{1}}{W}=\int \frac{-2x}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}$

        $v_{2}=\int \frac{W_{2}}{W}=\int \frac{xe^{-x}}{2}=-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x}$

        $v_{3}=\int \frac{W_{3}}{W}=\int \frac{xe^{x}}{2}=\frac{1}{2}xe^{x}-\frac{1}{2}e^{x}$

    sehingga 

    $y_{p}=-\frac{1}{2}x^{2}(1)+\left ( -\frac{1}{2} xe^{-x}-\frac{1}{2}e^{-x}\right )e^{x}+\left ( \frac{1}{2} xe^{x}-\frac{1}{2}e^{x}\right )e^{-x}$

            $=-\frac{1}{2}x^{2}-1$

Langkah 3 : Menyusun solusi umum PD 

    $y=y_{h}+y_{p}$

       $=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}-\frac{1}{2}x^{2}-1$ 

________________________________

Sekian, semoga bermanfaat.

Terkait : PD Linear Non Homogen Orde Dua Variasi Parameter